Obteniendo Ayuda¶
Sage posee una extensa documentación incorporada, accesible con solo teclear el nombre de una función o una constante (por ejemplo), seguido de un signo de interrogación:
sage: tan?
Type: <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition: tan( [noargspec] )
Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:
sage: tan(pi)
0
sage: tan(3.1415)
-0.0000926535900581913
sage: tan(3.1415/4)
0.999953674278156
sage: tan(pi/4)
1
sage: tan(1/2)
tan(1/2)
sage: RR(tan(1/2))
0.546302489843790
sage: log2?
Type: <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition: log2( [noargspec] )
Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
sage: log2
log2
sage: float(log2)
0.69314718055994529
sage: RR(log2)
0.693147180559945
sage: R = RealField(200); R
Real Field with 200 bits of precision
sage: R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
sage: l = (1-log2)/(1+log2); l
(1 - log(2))/(log(2) + 1)
sage: R(l)
0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
sage: maxima(log2)
log(2)
sage: maxima(log2).float()
.6931471805599453
sage: gp(log2)
0.6931471805599453094172321215 # 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807 # 64-bit
sage: sudoku?
File: sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type: <... 'function'>
Definition: sudoku(A)
Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:
sage: A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0,
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
sage: A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
sage: sudoku(A)
[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]
>>> from sage.all import *
>>> tan?
Type: <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition: tan( [noargspec] )
Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:
>>> tan(pi)
0
>>> tan(RealNumber('3.1415'))
-0.0000926535900581913
>>> tan(RealNumber('3.1415')/Integer(4))
0.999953674278156
>>> tan(pi/Integer(4))
1
>>> tan(Integer(1)/Integer(2))
tan(1/2)
>>> RR(tan(Integer(1)/Integer(2)))
0.546302489843790
>>> log2?
Type: <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition: log2( [noargspec] )
Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
>>> log2
log2
>>> float(log2)
0.69314718055994529
>>> RR(log2)
0.693147180559945
>>> R = RealField(Integer(200)); R
Real Field with 200 bits of precision
>>> R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
>>> l = (Integer(1)-log2)/(Integer(1)+log2); l
(1 - log(2))/(log(2) + 1)
>>> R(l)
0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
>>> maxima(log2)
log(2)
>>> maxima(log2).float()
.6931471805599453
>>> gp(log2)
0.6931471805599453094172321215 # 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807 # 64-bit
>>> sudoku?
File: sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type: <... 'function'>
Definition: sudoku(A)
Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:
>>> A = matrix(ZZ,Integer(9),[Integer(5),Integer(0),Integer(0), Integer(0),Integer(8),Integer(0), Integer(0),Integer(4),Integer(9), Integer(0),Integer(0),Integer(0), Integer(5),Integer(0),Integer(0),
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
>>> A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
>>> sudoku(A)
[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]
tan? tan(pi) tan(3.1415) tan(3.1415/4) tan(pi/4) tan(1/2) RR(tan(1/2)) log2? log2 float(log2) RR(log2) R = RealField(200); R R(log2) l = (1-log2)/(1+log2); l R(l) maxima(log2) maxima(log2).float() gp(log2) sudoku? A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0, A sudoku(A)
Sage también provee “Autocompletado con el tabulador”: teclea las primeras letras de
una función y luego oprime la tecla del tabulador. Por ejemplo, si tecleas ta
seguido por TAB, Sage imprimirá
tachyon, tan, tanh, taylor.
Esto proporciona una buena manera de encontrar los nombres de funciones y otras
estructuras en Sage.
Funciones, Indentación Y Conteo¶
Para definir una nueva función en Sage, utilice el comando def y el signo de dos puntos
después de la lista de nombres de variable. Por ejemplo:
sage: def is_even(n):
....: return n % 2 == 0
....:
sage: is_even(2)
True
sage: is_even(3)
False
>>> from sage.all import *
>>> def is_even(n):
... return n % Integer(2) == Integer(0)
....:
>>> is_even(Integer(2))
True
>>> is_even(Integer(3))
False
def is_even(n):
return n % 2 == 0
is_even(2)
is_even(3)
Nota: Dependiendo de la versión del tutorial que estás leyendo, puede que veas
puntos ....: en la segunda línea de este ejemplo.
No los incluyas; son solo para enfatizar que el código está indentado.
Siempre que este sea el caso, presiona [Return/Enter] una vez al final del bloque
para insertar una línea en blanco y concluir la definición de la función.
No tienes que especificar los tipos de ninguno de los argumentos de entrada.
Puedes especificar múltiples entradas, cada una de las cuales puede tener un
valor predeterminado opcional. Por ejemplo, la función de abajo tiene un valor
predeterminado divisor=2 si no se especifica el valor de divisor.
sage: def is_divisible_by(number, divisor=2):
....: return number % divisor == 0
sage: is_divisible_by(6,2)
True
sage: is_divisible_by(6)
True
sage: is_divisible_by(6, 5)
False
>>> from sage.all import *
>>> def is_divisible_by(number, divisor=Integer(2)):
... return number % divisor == Integer(0)
>>> is_divisible_by(Integer(6),Integer(2))
True
>>> is_divisible_by(Integer(6))
True
>>> is_divisible_by(Integer(6), Integer(5))
False
def is_divisible_by(number, divisor=2):
return number % divisor == 0
is_divisible_by(6,2)
is_divisible_by(6)
is_divisible_by(6, 5)
También puedes especificar explícitamente una o ambas de las entradas cuando llames a la función; si especificas las entradas explícitamente, puedes darlas en cualquier órden:
sage: is_divisible_by(6, divisor=5)
False
sage: is_divisible_by(divisor=2, number=6)
True
>>> from sage.all import *
>>> is_divisible_by(Integer(6), divisor=Integer(5))
False
>>> is_divisible_by(divisor=Integer(2), number=Integer(6))
True
is_divisible_by(6, divisor=5) is_divisible_by(divisor=2, number=6)
En Python, los bloques de código no se encierran entre llaves o bloques begin…end
como en muchos otros lenguajes. En vez de ello, los bloques de código
se indican por medio de la indentación, la cual se debe agrupar con exactitud.
Por ejemplo, el siguiente es un error de sintáxis porque la declaración return
no está indentada al mismo nivel que las otras líneas por encima de ella.
sage: def even(n):
....: v = []
....: for i in range(3,n):
....: if i % 2 == 0:
....: v.append(i)
....: return v
Syntax Error:
return v
>>> from sage.all import *
>>> def even(n):
... v = []
... for i in range(Integer(3),n):
... if i % Integer(2) == Integer(0):
... v.append(i)
... return v
Syntax Error:
return v
def even(n):
v = []
for i in range(3,n):
if i % 2 == 0:
v.append(i)
return v
Si arreglas la indentación, la función se ejecutará:
sage: def even(n):
....: v = []
....: for i in range(3,n):
....: if i % 2 == 0:
....: v.append(i)
....: return v
sage: even(10)
[4, 6, 8]
>>> from sage.all import *
>>> def even(n):
... v = []
... for i in range(Integer(3),n):
... if i % Integer(2) == Integer(0):
... v.append(i)
... return v
>>> even(Integer(10))
[4, 6, 8]
def even(n):
v = []
for i in range(3,n):
if i % 2 == 0:
v.append(i)
return v
even(10)
El punto y coma no es necesario al final de las líneas. Una línea termina, en muchos casos, por un carácter de nueva línea. Sin embargo, puedes poner múltiples declaraciones en una línea, separadas por punto y coma:
sage: a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
64
>>> from sage.all import *
>>> a = Integer(5); b = a + Integer(3); c = b**Integer(2); c
64
a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
Si quisieras que una simple línea de código abarque multiples líneas, utiliza una barra invertida como terminación:
sage: 2 + \
....: 3
5
>>> from sage.all import *
>>> Integer(2) + Integer(3)
5
2 + \ 3
En Sage, se cuenta iterando sobre un rango de enteros. Por ejemplo,
la primer línea de abajo es exactamente igual a for(i=0; i<3; i++) en C++ o Java:
sage: for i in range(3):
....: print(i)
0
1
2
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(3)):
... print(i)
0
1
2
for i in range(3):
print(i)
La primer línea de abajo es igual a for(i=2;i<5;i++).
sage: for i in range(2,5):
....: print(i)
2
3
4
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(2),Integer(5)):
... print(i)
2
3
4
for i in range(2,5):
print(i)
El tercer argumento controla el incremento, de modo que lo siguiente es igual a
for(i=1;i<6;i+=2).
sage: for i in range(1,6,2):
....: print(i)
1
3
5
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(1),Integer(6),Integer(2)):
... print(i)
1
3
5
for i in range(1,6,2):
print(i)
A menudo, querrás crear una tabla para presentar números que has calculado utilizando Sage. Una manera sencilla de hacer esto es usando el formateado de cadenas. Abajo, creamos tres columnas, cada una con un ancho exácto de 6 caracteres y hacemos una tabla de cuadrados y cubos.
sage: for i in range(5):
....: print('%6s %6s %6s' % (i, i^2, i^3))
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(5)):
... print('%6s %6s %6s' % (i, i**Integer(2), i**Integer(3)))
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
for i in range(5):
print('%6s %6s %6s' % (i, i^2, i^3))
La estructura de datos más básica en Sage es la lista, la cual es – como
sugiere su nombre – solo una lista de objetos arbitrarios.
Por ejemplo, el comando range que hemos usado crea una lista:
sage: list(range(2,10))
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> from sage.all import *
>>> list(range(Integer(2),Integer(10)))
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
list(range(2,10))
He aquí una lista más complicada:
sage: v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)]
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]
>>> from sage.all import *
>>> v = [Integer(1), "hello", Integer(2)/Integer(3), sin(x**Integer(3))]
>>> v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]
v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)] v
El indexado de una lista comienza en el cero, como en muchos lenguajes de programación.
sage: v[0]
1
sage: v[3]
sin(x^3)
>>> from sage.all import *
>>> v[Integer(0)]
1
>>> v[Integer(3)]
sin(x^3)
v[0] v[3]
La función len(v) devuelve la longitud de v. Utiliza v.append(obj) para
añadir un nuevo objeto al final de v, y utiliza del v[i] para borrar
el \(i-ésimo\) elemento de v:
sage: len(v)
4
sage: v.append(1.5)
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
sage: del v[1]
sage: v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
>>> from sage.all import *
>>> len(v)
4
>>> v.append(RealNumber('1.5'))
>>> v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
>>> del v[Integer(1)]
>>> v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
len(v) v.append(1.5) v del v[1] v
Otra estructura de datos importante es el diccionario (o array asociativo). Funciona como una lista, excepto que puede ser indexado con casi cualquier objeto (los índices deben ser immutables):
sage: d = {'hi':-2, 3/8:pi, e:pi}
sage: d['hi']
-2
sage: d[e]
pi
>>> from sage.all import *
>>> d = {'hi':-Integer(2), Integer(3)/Integer(8):pi, e:pi}
>>> d['hi']
-2
>>> d[e]
pi
d = {'hi':-2, 3/8:pi, e:pi}
d['hi']
d[e]
También puedes definir nuevos tipos de datos usando clases. El encapsulado
de objetos matemáticos con clases es una técnica potente que puede
ayudar a simplificar y organizar tus programas en Sage. Abajo, definimos una
clase que representa la lista de enteros positivos pares hasta n;
se deriva de el tipo básico list.
sage: class Evens(list):
....: def __init__(self, n):
....: self.n = n
....: list.__init__(self, range(2, n+1, 2))
....: def __repr__(self):
....: return "Even positive numbers up to n."
>>> from sage.all import *
>>> class Evens(list):
... def __init__(self, n):
... self.n = n
... list.__init__(self, range(Integer(2), n+Integer(1), Integer(2)))
... def __repr__(self):
... return "Even positive numbers up to n."
class Evens(list):
def __init__(self, n):
self.n = n
list.__init__(self, range(2, n+1, 2))
def __repr__(self):
return "Even positive numbers up to n."
El método __init__ se llama para inicializar al objeto cuando
es creado; el método __repr__ imprime el objeto.
Llamamos al método constructor de listas en la segunda línea del
método __init__. A continuación, creamos un objeto de clase Evens:
sage: e = Evens(10)
sage: e
Even positive numbers up to n.
>>> from sage.all import *
>>> e = Evens(Integer(10))
>>> e
Even positive numbers up to n.
e = Evens(10) e
Observe que e se imprime usando el método __repr__ que hemos definido.
Para ver la lista subyacente de números, utilice la función list:
sage: list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]
>>> from sage.all import *
>>> list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]
list(e)
También podemos acceder al atributo n o tratar a e como una lista.
sage: e.n
10
sage: e[2]
6
>>> from sage.all import *
>>> e.n
10
>>> e[Integer(2)]
6
e.n e[2]