Parents, conversions, coercitions¶

Cette section peut paraître plus technique que celles qui précèdent, mais nous pensons qu’il est important de comprendre ce que sont les parents et les coercitions pour utiliser comme il faut les structures algébriques fournies par Sage.

Nous allons voir ici ce que ces notions signifient, mais pas comment les mettre en œuvre pour implémenter une nouvelle structure algébrique. Un tutoriel thématique couvrant ce point est disponible ici.

Éléments¶

Une première approximation en Python de la notion mathématique d’anneau pourrait consister à définir une classe pour les éléments X de l’anneau concerné, de fournir les méthodes « double-underscore » nécessaires pour donner un sens aux opérations de l’anneau, par exemple __add__, __sub__ et __mul__, et naturellement de s’assurer qu’elles respectent les axiomes de la structure d’anneau.

Python étant un language (dynamiquement) fortement typé, on pourrait s’attendre à devoir implémenter une classe pour chaque anneau. Après tout, Python définit bien un type <int> pour les entiers, un type <float> pour les réels, et ainsi de suite. Mais cette approche ne peut pas fonctionner : il y a une infinité d’anneaux différents, et l’on ne peut pas implémenter une infinité de classes !

Une autre idée est de créer une hiérarchie de classes destinées à implémenter les éléments des structures algébriques usuelles : éléments de groupes, d’anneaux, d’algèbres à division, d’anneaux commutatifs, de corps, d’algèbres, etc.

Mais cela signifie que des éléments d’anneaux franchement différents peuvent avoir le même type.

Sage

sage: P.<x,y> = GF(3)[]
sage: Q.<a,b> = GF(4,'z')[]
sage: type(x)==type(a)
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> P = GF(Integer(3))['x, y']; (x, y,) = P._first_ngens(2)
>>> Q = GF(Integer(4),'z')['a, b']; (a, b,) = Q._first_ngens(2)
>>> type(x)==type(a)
True

Sage Live

P.<x,y> = GF(3)[]
Q.<a,b> = GF(4,'z')[]
type(x)==type(a)

On pourrait aussi vouloir avoir des classes Python différentes pour fournir plusieurs implémentations d’une même structure mathématique (matrices denses contre matrices creuses par exemple).

Sage

sage: P.<a> = PolynomialRing(ZZ)
sage: Q.<b> = PolynomialRing(ZZ, sparse=True)
sage: R.<c> = PolynomialRing(ZZ, implementation='NTL')
sage: type(a); type(b); type(c)
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_integer_dense_flint.Polynomial_integer_dense_flint'>
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_ring.PolynomialRing_integral_domain_with_category.element_class'>
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_integer_dense_ntl.Polynomial_integer_dense_ntl'>

Python

>>> from sage.all import *
>>> P = PolynomialRing(ZZ, names=('a',)); (a,) = P._first_ngens(1)
>>> Q = PolynomialRing(ZZ, sparse=True, names=('b',)); (b,) = Q._first_ngens(1)
>>> R = PolynomialRing(ZZ, implementation='NTL', names=('c',)); (c,) = R._first_ngens(1)
>>> type(a); type(b); type(c)
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_integer_dense_flint.Polynomial_integer_dense_flint'>
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_ring.PolynomialRing_integral_domain_with_category.element_class'>
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_integer_dense_ntl.Polynomial_integer_dense_ntl'>

Sage Live

P.<a> = PolynomialRing(ZZ)
Q.<b> = PolynomialRing(ZZ, sparse=True)
R.<c> = PolynomialRing(ZZ, implementation='NTL')
type(a); type(b); type(c)

Deux problèmes se posent alors. D’une part, si deux éléments sont instances de la même classe, on s’attend à ce que leur méthode __add__ soit capable de les additionner, alors que ce n’est pas ce que l’on souhaite si les éléments appartiennent en fait à des anneaux différents. D’autre part, si l’on a deux éléments qui appartiennent à des implémentations différentes d’un même anneau, on veut pouvoir les ajouter, et ce n’est pas immédiats s’ils ne sont pas instances de la même classe.

La solution à ces difficultés est fournie par le mécanisme de coercition décrit ci-dessous.

Mais avant tout, il est essentiel que chaque élément « sache » de quoi il est élément. Cette information est donnée par la méthode parent().

Sage

sage: a.parent(); b.parent(); c.parent()
Univariate Polynomial Ring in a over Integer Ring
Sparse Univariate Polynomial Ring in b over Integer Ring
Univariate Polynomial Ring in c over Integer Ring (using NTL)

Python

>>> from sage.all import *
>>> a.parent(); b.parent(); c.parent()
Univariate Polynomial Ring in a over Integer Ring
Sparse Univariate Polynomial Ring in b over Integer Ring
Univariate Polynomial Ring in c over Integer Ring (using NTL)

Sage Live

a.parent(); b.parent(); c.parent()

Parents et catégories¶

En plus d’une hiérarchie de classes destinée à implémenter les éléments de structures algébriques, Sage fournit une hiérarchie similaire pour les structures elles-mêmes. Ces structures s’appellent en Sage des parents, et leurs classes dérivent d’une même classe de base. Celle-ci a des sous-classes « ensemble », « anneau », « corps », et ainsi de suite, dont la hiérarchie correspond à peu près à celle des concepts mathématiques qu’elles décrivent :

Sage

sage: isinstance(QQ,Field)
True
sage: isinstance(QQ, Ring)
True
sage: isinstance(ZZ,Field)
False
sage: isinstance(ZZ, Ring)
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> isinstance(QQ,Field)
True
>>> isinstance(QQ, Ring)
True
>>> isinstance(ZZ,Field)
False
>>> isinstance(ZZ, Ring)
True

Sage Live

isinstance(QQ,Field)
isinstance(QQ, Ring)
isinstance(ZZ,Field)
isinstance(ZZ, Ring)

Or en algèbre, on regroupe les objets qui partagent le même genre de structure algébrique en ce que l’on appelle des catégories. Il y a donc un parallèle approximatif entre la hiérarchie des classes de Sage et la hiérarchie des catégories. Mais cette correspondance n’est pas parfaite, et Sage implémente par ailleurs les catégories en tant que telles :

Sage

sage: Rings()
Category of rings
sage: ZZ.category()
Join of Category of Dedekind domains
    and Category of euclidean domains
    and Category of noetherian rings
    and Category of infinite enumerated sets
    and Category of metric spaces
sage: ZZ.category().is_subcategory(Rings())
True
sage: ZZ in Rings()
True
sage: ZZ in Fields()
False
sage: QQ in Fields()
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> Rings()
Category of rings
>>> ZZ.category()
Join of Category of Dedekind domains
    and Category of euclidean domains
    and Category of noetherian rings
    and Category of infinite enumerated sets
    and Category of metric spaces
>>> ZZ.category().is_subcategory(Rings())
True
>>> ZZ in Rings()
True
>>> ZZ in Fields()
False
>>> QQ in Fields()
True

Sage Live

Rings()
ZZ.category()
ZZ.category().is_subcategory(Rings())
ZZ in Rings()
ZZ in Fields()
QQ in Fields()

Tandis que la hiérarchie des classes est déterminée avant tout par des considérations de programmation, l’infrastructure des catégories cherche plutôt à respecter la structure mathématique. Elle permet de munir les objets d’une catégorie de méthodes et de tests génériques, qui ne dépendent pas de l’implémentation particulière d’un objet donné de la catégorie.

Les parents en tant qu’objets Python doivent être uniques. Ainsi, lorsqu’un anneau de polynômes sur un anneau donné et avec une liste donnée de générateurs est construit, il est conservé en cache et réutilisé par la suite :

Sage

sage: RR['x','y'] is RR['x','y']
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> RR['x','y'] is RR['x','y']
True

Sage Live

RR['x','y'] is RR['x','y']

Types et parents¶

Le type RingElement ne correspond pas parfaitement à la notion mathématique d’élément d’anneau. Par exemple, bien que les matrices carrées appartiennent à un anneau, elles ne sont pas de type RingElement :

Sage

sage: M = Matrix(ZZ,2,2); M
[0 0]
[0 0]
sage: isinstance(M, RingElement)
False

Python

>>> from sage.all import *
>>> M = Matrix(ZZ,Integer(2),Integer(2)); M
[0 0]
[0 0]
>>> isinstance(M, RingElement)
False

Sage Live

M = Matrix(ZZ,2,2); M
isinstance(M, RingElement)

Si les parents sont censés être uniques, des éléments égaux d’un parent ne sont pas nécessairement identiques. Le comportement de Sage diffère ici de celui de Python pour certains entiers (pas tous) :

Sage

sage: int(1) is int(1) # Python int
True
sage: int(-15) is int(-15)
False
sage: 1 is 1           # Sage Integer
False

Python

>>> from sage.all import *
>>> int(Integer(1)) is int(Integer(1)) # Python int
True
>>> int(-Integer(15)) is int(-Integer(15))
False
>>> Integer(1) is Integer(1)           # Sage Integer
False

Sage Live

int(1) is int(1) # Python int
int(-15) is int(-15)
1 is 1           # Sage Integer

Il faut bien comprendre que les éléments d’anneaux différents ne se distinguent généralement pas par leur type, mais par leur parent :

Sage

sage: a = GF(2)(1)
sage: b = GF(5)(1)
sage: type(a) is type(b)
True
sage: parent(a)
Finite Field of size 2
sage: parent(b)
Finite Field of size 5

Python

>>> from sage.all import *
>>> a = GF(Integer(2))(Integer(1))
>>> b = GF(Integer(5))(Integer(1))
>>> type(a) is type(b)
True
>>> parent(a)
Finite Field of size 2
>>> parent(b)
Finite Field of size 5

Sage Live

a = GF(2)(1)
b = GF(5)(1)
type(a) is type(b)
parent(a)
parent(b)

Ainsi, le parent d’un élément est plus important que son type du point de vue algébrique.

Parents, conversions, coercitions¶

Éléments¶

Parents et catégories¶

Types et parents¶

Conversion et coercition¶