Obtenir de l’aide¶
Sage est doté d’une importante documentation intégrée, accessible en tapant (par exemple) le nom d’une fonction ou d’une constante suivi d’un point d’interrogation :
sage: tan?
Type: <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition: tan( [noargspec] )
Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:
sage: tan(pi)
0
sage: tan(3.1415)
-0.0000926535900581913
sage: tan(3.1415/4)
0.999953674278156
sage: tan(pi/4)
1
sage: tan(1/2)
tan(1/2)
sage: RR(tan(1/2))
0.546302489843790
sage: log2?
Type: <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition: log2( [noargspec] )
Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
sage: log2
log2
sage: float(log2)
0.69314718055994529
sage: RR(log2)
0.693147180559945
sage: R = RealField(200); R
Real Field with 200 bits of precision
sage: R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
sage: l = (1-log2)/(1+log2); l
(1 - log(2))/(log(2) + 1)
sage: R(l)
0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
sage: maxima(log2)
log(2)
sage: maxima(log2).float()
.6931471805599453
sage: gp(log2)
0.6931471805599453094172321215 # 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807 # 64-bit
sage: sudoku?
File: sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type: <... 'function'>
Definition: sudoku(A)
Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:
sage: A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0,
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
sage: A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
sage: sudoku(A)
[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]
>>> from sage.all import *
>>> tan?
Type: <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition: tan( [noargspec] )
Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:
>>> tan(pi)
0
>>> tan(RealNumber('3.1415'))
-0.0000926535900581913
>>> tan(RealNumber('3.1415')/Integer(4))
0.999953674278156
>>> tan(pi/Integer(4))
1
>>> tan(Integer(1)/Integer(2))
tan(1/2)
>>> RR(tan(Integer(1)/Integer(2)))
0.546302489843790
>>> log2?
Type: <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition: log2( [noargspec] )
Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
>>> log2
log2
>>> float(log2)
0.69314718055994529
>>> RR(log2)
0.693147180559945
>>> R = RealField(Integer(200)); R
Real Field with 200 bits of precision
>>> R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
>>> l = (Integer(1)-log2)/(Integer(1)+log2); l
(1 - log(2))/(log(2) + 1)
>>> R(l)
0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
>>> maxima(log2)
log(2)
>>> maxima(log2).float()
.6931471805599453
>>> gp(log2)
0.6931471805599453094172321215 # 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807 # 64-bit
>>> sudoku?
File: sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type: <... 'function'>
Definition: sudoku(A)
Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:
>>> A = matrix(ZZ,Integer(9),[Integer(5),Integer(0),Integer(0), Integer(0),Integer(8),Integer(0), Integer(0),Integer(4),Integer(9), Integer(0),Integer(0),Integer(0), Integer(5),Integer(0),Integer(0),
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
>>> A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
>>> sudoku(A)
[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]
tan? tan(pi) tan(3.1415) tan(3.1415/4) tan(pi/4) tan(1/2) RR(tan(1/2)) log2? log2 float(log2) RR(log2) R = RealField(200); R R(log2) l = (1-log2)/(1+log2); l R(l) maxima(log2) maxima(log2).float() gp(log2) sudoku? A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0, A sudoku(A)
Sage dispose aussi de la complétion de ligne de commande, accessible en
tapant les quelques premières lettres du nom d’une fonction puis en
appuyant sur la touche tabulation. Ainsi, si vous tapez ta suivi de
TAB, Sage affichera tachyon, tan, tanh, taylor. C’est une façon
commode de voir quels noms de fonctions et d’autres structures sont
disponibles en Sage.
Fonctions, indentation et itération¶
Les définitions de fonctions en Sage sont introduites par la commande
def, et la liste des noms des paramètres est suivie de deux points,
comme dans :
sage: def is_even(n):
....: return n%2 == 0
sage: is_even(2)
True
sage: is_even(3)
False
>>> from sage.all import *
>>> def is_even(n):
... return n%Integer(2) == Integer(0)
>>> is_even(Integer(2))
True
>>> is_even(Integer(3))
False
def is_even(n):
return n%2 == 0
is_even(2)
is_even(3)
Remarque : suivant la version du notebook que vous utilisez, il est
possible que vous voyez trois points ....: au début de la deuxième
ligne de l’exemple. Ne les entrez pas, ils servent uniquement à signaler
que le code est indenté.
Les types des paramètres ne sont pas spécifiés dans la définition de la
fonction. Il peut y avoir plusieurs paramètres, chacun accompagné
optionnellement d’une valeur par défaut. Par exemple, si la valeur de
divisor n’est pas donnée lors d’un appel à la fonction ci-dessous,
la valeur par défaut divisor=2 est utilisée.
sage: def is_divisible_by(number, divisor=2):
....: return number%divisor == 0
sage: is_divisible_by(6,2)
True
sage: is_divisible_by(6)
True
sage: is_divisible_by(6, 5)
False
>>> from sage.all import *
>>> def is_divisible_by(number, divisor=Integer(2)):
... return number%divisor == Integer(0)
>>> is_divisible_by(Integer(6),Integer(2))
True
>>> is_divisible_by(Integer(6))
True
>>> is_divisible_by(Integer(6), Integer(5))
False
def is_divisible_by(number, divisor=2):
return number%divisor == 0
is_divisible_by(6,2)
is_divisible_by(6)
is_divisible_by(6, 5)
Il est possible de spécifier un ou plusieurs des paramètres par leur nom lors de l’appel de la fonction ; dans ce cas, les paramètres nommés peuvent apparaître dans n’importe quel ordre :
sage: is_divisible_by(6, divisor=5)
False
sage: is_divisible_by(divisor=2, number=6)
True
>>> from sage.all import *
>>> is_divisible_by(Integer(6), divisor=Integer(5))
False
>>> is_divisible_by(divisor=Integer(2), number=Integer(6))
True
is_divisible_by(6, divisor=5) is_divisible_by(divisor=2, number=6)
En Python, contrairement à de nombreux autres langages, les blocs de
code ne sont pas délimités par des accolades ou des mots-clés de début
et de fin de bloc. Au lieu de cela, la structure des blocs est donnée
par l’indentation, qui doit être la même dans tout le bloc. Par exemple,
le code suivant déclenche une erreur de syntaxe parce que l’instruction
return n’est pas au même niveau d’indentation que les lignes
précédentes.
sage: def even(n):
....: v = []
....: for i in range(3,n):
....: if i % 2 == 0:
....: v.append(i)
....: return v
Syntax Error:
return v
>>> from sage.all import *
>>> def even(n):
... v = []
... for i in range(Integer(3),n):
... if i % Integer(2) == Integer(0):
... v.append(i)
... return v
Syntax Error:
return v
def even(n):
v = []
for i in range(3,n):
if i % 2 == 0:
v.append(i)
return v
Une fois l’indentation corrigée, l’exemple fonctionne :
sage: def even(n):
....: v = []
....: for i in range(3,n):
....: if i % 2 == 0:
....: v.append(i)
....: return v
sage: even(10)
[4, 6, 8]
>>> from sage.all import *
>>> def even(n):
... v = []
... for i in range(Integer(3),n):
... if i % Integer(2) == Integer(0):
... v.append(i)
... return v
>>> even(Integer(10))
[4, 6, 8]
def even(n):
v = []
for i in range(3,n):
if i % 2 == 0:
v.append(i)
return v
even(10)
Il n’y a pas besoin de placer des points-virgules en fin de ligne ; une instruction est en général terminée par un passage à la ligne. En revanche, il est possible de placer plusieurs instructions sur la même ligne en les séparant par des points-virgules :
sage: a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
64
>>> from sage.all import *
>>> a = Integer(5); b = a + Integer(3); c = b**Integer(2); c
64
a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
Pour continuer une instruction sur la ligne suivante, placez une barre oblique inverse en fin de ligne :
sage: 2 + \
....: 3
5
>>> from sage.all import *
>>> Integer(2) + Integer(3)
5
2 + \ 3
Pour compter en Sage, utilisez une boucle dont la variable d’itération
parcourt une séquence d’entiers. Par exemple, la première ligne
ci-dessous a exactement le même effet que for(i=0; i<3; i++) en C++
ou en Java :
sage: for i in range(3):
....: print(i)
0
1
2
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(3)):
... print(i)
0
1
2
for i in range(3):
print(i)
La première ligne ci-dessous correspond à for(i=2;i<5;i++).
sage: for i in range(2,5):
....: print(i)
2
3
4
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(2),Integer(5)):
... print(i)
2
3
4
for i in range(2,5):
print(i)
Le troisième paramètre contrôle le pas de l’itération. Ainsi, ce qui
suit est équivalent à for(i=1;i<6;i+=2).
sage: for i in range(1,6,2):
....: print(i)
1
3
5
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(1),Integer(6),Integer(2)):
... print(i)
1
3
5
for i in range(1,6,2):
print(i)
Vous souhaiterez peut-être regrouper dans un joli tableau les résultats numériques que vous aurez calculés avec Sage. Une façon de faire commode utilise les chaînes de format. Ici, nous affichons une table des carrés et des cubes en trois colonnes, chacune d’une largeur de six caractères.
sage: for i in range(5):
....: print('%6s %6s %6s' % (i, i^2, i^3))
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(5)):
... print('%6s %6s %6s' % (i, i**Integer(2), i**Integer(3)))
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
for i in range(5):
print('%6s %6s %6s' % (i, i^2, i^3))
La structure de données de base de Sage est la liste, qui est — comme son nom l’indique — une liste d’objets arbitraires. Voici un exemple de liste:
sage: v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)]
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]
>>> from sage.all import *
>>> v = [Integer(1), "hello", Integer(2)/Integer(3), sin(x**Integer(3))]
>>> v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]
v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)] v
Comme dans de nombreux langages de programmation, les listes sont indexées à partir de 0.
sage: v[0]
1
sage: v[3]
sin(x^3)
>>> from sage.all import *
>>> v[Integer(0)]
1
>>> v[Integer(3)]
sin(x^3)
v[0] v[3]
La fonction len(v) donne la longueur de v….:v.append(obj)
ajoute un nouvel objet à la fin de v ; et del v[i] supprime
l’élément d’indice i de v.
sage: len(v)
4
sage: v.append(1.5)
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
sage: del v[1]
sage: v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
>>> from sage.all import *
>>> len(v)
4
>>> v.append(RealNumber('1.5'))
>>> v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
>>> del v[Integer(1)]
>>> v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
len(v) v.append(1.5) v del v[1] v
Une autre structure de données importante est le dictionnaire (ou tableau associatif). Un dictionnaire fonctionne comme une liste, à ceci près que les indices peuvent être presque n’importe quels objets (les objets mutables sont interdits) :
sage: d = {'hi':-2, 3/8:pi, e:pi}
sage: d['hi']
-2
sage: d[e]
pi
>>> from sage.all import *
>>> d = {'hi':-Integer(2), Integer(3)/Integer(8):pi, e:pi}
>>> d['hi']
-2
>>> d[e]
pi
d = {'hi':-2, 3/8:pi, e:pi}
d['hi']
d[e]
Vous pouvez définir de nouveaux types de données en utilisant les
classes. Encapsuler les objets mathématiques dans des classes représente
une technique puissante qui peut vous aider à simplifier et organiser
vos programmes Sage. Dans l’exemple suivant, nous définissons une classe
qui représente la liste des entiers impairs strictement positifs jusqu’à
n. Cette classe dérive du type interne list.
sage: class Evens(list):
....: def __init__(self, n):
....: self.n = n
....: list.__init__(self, range(2, n+1, 2))
....: def __repr__(self):
....: return "Even positive numbers up to n."
>>> from sage.all import *
>>> class Evens(list):
... def __init__(self, n):
... self.n = n
... list.__init__(self, range(Integer(2), n+Integer(1), Integer(2)))
... def __repr__(self):
... return "Even positive numbers up to n."
class Evens(list):
def __init__(self, n):
self.n = n
list.__init__(self, range(2, n+1, 2))
def __repr__(self):
return "Even positive numbers up to n."
La méthode __init__ est appelée à la création de l’objet pour
l’initialiser ; la méthode __repr__ affiche l’objet. À la seconde
ligne de la méthode __init__, nous appelons le constructeur de la
classe list. Pour créer un objet de classe Evens, nous procédons
ensuite comme suit :
sage: e = Evens(10)
sage: e
Even positive numbers up to n.
>>> from sage.all import *
>>> e = Evens(Integer(10))
>>> e
Even positive numbers up to n.
e = Evens(10) e
Notez que e s’affiche en utilisant la méthode __repr__ que nous avons
définie plus haut. Pour voir la liste de nombres sous-jacente, on utilise
la fonction list :
sage: list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]
>>> from sage.all import *
>>> list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]
list(e)
Il est aussi possible d’accéder à l’attribut n, ou encore d’utiliser
e en tant que liste.
sage: e.n
10
sage: e[2]
6
>>> from sage.all import *
>>> e.n
10
>>> e[Integer(2)]
6
e.n e[2]