Algèbre linéaire¶
Sage fournit les constructions standards d’algèbre linéaire, par exemple le polynôme caractéristique, la forme échelonnée, la trace, diverses décompositions, etc. d’une matrice.
La création de matrices et la multiplication matricielle sont très faciles et naturelles :
sage: A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]])
sage: w = vector([1,1,-4])
sage: w*A
(0, 0, 0)
sage: A*w
(-9, 1, -2)
sage: kernel(A)
Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[ 1 1 -4]
>>> from sage.all import *
>>> A = Matrix([[Integer(1),Integer(2),Integer(3)],[Integer(3),Integer(2),Integer(1)],[Integer(1),Integer(1),Integer(1)]])
>>> w = vector([Integer(1),Integer(1),-Integer(4)])
>>> w*A
(0, 0, 0)
>>> A*w
(-9, 1, -2)
>>> kernel(A)
Free module of degree 3 and rank 1 over Integer Ring
Echelon basis matrix:
[ 1 1 -4]
A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]]) w = vector([1,1,-4]) w*A A*w kernel(A)
Notez bien qu’avec Sage, le noyau d’une matrice \(A\) est le « noyau à gauche », c’est-à-dire l’espace des vecteurs \(w\) tels que \(wA=0\).
La résolution d’équations matricielles est facile et se fait avec la
méthode solve_right. L’évaluation de A.solve_right(Y) renvoie
une matrice (ou un vecteur) \(X\) tel que \(AX=Y\):
sage: Y = vector([0, -4, -1])
sage: X = A.solve_right(Y)
sage: X
(-2, 1, 0)
sage: A * X # vérifions la réponse...
(0, -4, -1)
>>> from sage.all import *
>>> Y = vector([Integer(0), -Integer(4), -Integer(1)])
>>> X = A.solve_right(Y)
>>> X
(-2, 1, 0)
>>> A * X # vérifions la réponse...
(0, -4, -1)
Y = vector([0, -4, -1]) X = A.solve_right(Y) X A * X # vérifions la réponse...
S’il n’y a aucune solution, Sage renvoie une erreur :
sage: A.solve_right(w)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: matrix equation has no solutions
>>> from sage.all import *
>>> A.solve_right(w)
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: matrix equation has no solutions
A.solve_right(w)
De même, il faut utiliser A.solve_left(Y) pour résoudre en \(X\)
l’équation \(XA=Y\).
Sage sait aussi calculer les valeurs propres et vecteurs propres:
sage: A = matrix([[0, 4], [-1, 0]])
sage: A.eigenvalues ()
[-2*I, 2*I]
sage: B = matrix([[1, 3], [3, 1]])
sage: B.eigenvectors_left()
[(4, [
(1, 1)
], 1), (-2, [
(1, -1)
], 1)]
>>> from sage.all import *
>>> A = matrix([[Integer(0), Integer(4)], [-Integer(1), Integer(0)]])
>>> A.eigenvalues ()
[-2*I, 2*I]
>>> B = matrix([[Integer(1), Integer(3)], [Integer(3), Integer(1)]])
>>> B.eigenvectors_left()
[(4, [
(1, 1)
], 1), (-2, [
(1, -1)
], 1)]
A = matrix([[0, 4], [-1, 0]]) A.eigenvalues () B = matrix([[1, 3], [3, 1]]) B.eigenvectors_left()
(La sortie de eigenvectors_left est une liste de triplets (valeur propre,
vecteur propre, multiplicité).) Sur QQ et RR, on peut aussi utiliser
Maxima (voir la section Maxima ci-dessous).
Comme signalé en Anneaux de base, l’anneau sur lequel une matrice est
définie a une influence sur les propriétés de la matrice. Dans l’exemple
suivant, le premier argument de la commande matrix indique à Sage s’il faut
traiter la matrice comme une matrice d’entier (ZZ), de rationnels (QQ)
ou de réels (RR):
sage: AZ = matrix(ZZ, [[2,0], [0,1]])
sage: AQ = matrix(QQ, [[2,0], [0,1]])
sage: AR = matrix(RR, [[2,0], [0,1]])
sage: AZ.echelon_form()
[2 0]
[0 1]
sage: AQ.echelon_form()
[1 0]
[0 1]
sage: AR.echelon_form()
[ 1.00000000000000 0.000000000000000]
[0.000000000000000 1.00000000000000]
>>> from sage.all import *
>>> AZ = matrix(ZZ, [[Integer(2),Integer(0)], [Integer(0),Integer(1)]])
>>> AQ = matrix(QQ, [[Integer(2),Integer(0)], [Integer(0),Integer(1)]])
>>> AR = matrix(RR, [[Integer(2),Integer(0)], [Integer(0),Integer(1)]])
>>> AZ.echelon_form()
[2 0]
[0 1]
>>> AQ.echelon_form()
[1 0]
[0 1]
>>> AR.echelon_form()
[ 1.00000000000000 0.000000000000000]
[0.000000000000000 1.00000000000000]
AZ = matrix(ZZ, [[2,0], [0,1]]) AQ = matrix(QQ, [[2,0], [0,1]]) AR = matrix(RR, [[2,0], [0,1]]) AZ.echelon_form() AQ.echelon_form() AR.echelon_form()
Pour le calcul de valeurs propres et vecteurs propres sur les nombres à virgule
flottante réels ou complexes, la matrice doit être respectivement à
coefficients dans RDF (Real Double Field, nombres réels à précision
machine) ou CDF (Complex Double Field). Lorsque l’on définit une matrice
avec des coefficients flottants sans spécifier explicitement l’anneau de base,
ce ne sont pas RDF ou CDF qui sont utilisés par défaut, mais RR et
CC, sur lesquels ces calculs ne sont pas implémentés dans tous les cas:
sage: ARDF = matrix(RDF, [[1.2, 2], [2, 3]])
sage: ARDF.eigenvalues() # rel tol 8e-16
[-0.09317121994613098, 4.293171219946131]
sage: ACDF = matrix(CDF, [[1.2, I], [2, 3]])
sage: ACDF.eigenvectors_right() # rel tol 3e-15
[(0.8818456983293743 - 0.8209140653434135*I, [(0.7505608183809549, -0.616145932704589 + 0.2387941530333261*I)], 1),
(3.3181543016706256 + 0.8209140653434133*I, [(0.14559469829270957 + 0.3756690858502104*I, 0.9152458258662108)], 1)]
>>> from sage.all import *
>>> ARDF = matrix(RDF, [[RealNumber('1.2'), Integer(2)], [Integer(2), Integer(3)]])
>>> ARDF.eigenvalues() # rel tol 8e-16
[-0.09317121994613098, 4.293171219946131]
>>> ACDF = matrix(CDF, [[RealNumber('1.2'), I], [Integer(2), Integer(3)]])
>>> ACDF.eigenvectors_right() # rel tol 3e-15
[(0.8818456983293743 - 0.8209140653434135*I, [(0.7505608183809549, -0.616145932704589 + 0.2387941530333261*I)], 1),
(3.3181543016706256 + 0.8209140653434133*I, [(0.14559469829270957 + 0.3756690858502104*I, 0.9152458258662108)], 1)]
ARDF = matrix(RDF, [[1.2, 2], [2, 3]]) ARDF.eigenvalues() # rel tol 8e-16 ACDF = matrix(CDF, [[1.2, I], [2, 3]]) ACDF.eigenvectors_right() # rel tol 3e-15
Espaces de matrices¶
Créons l’espace \(\text{Mat}_{3\times 3}(\QQ)\):
sage: M = MatrixSpace(QQ,3)
sage: M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field
>>> from sage.all import *
>>> M = MatrixSpace(QQ,Integer(3))
>>> M
Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Rational Field
M = MatrixSpace(QQ,3) M
(Pour indiquer l’espace des matrices 3 par 4, il faudrait utiliser
MatrixSpace(QQ,3,4). Si le nombre de colonnes est omis, il est égal
par défaut au nombre de lignes. Ainsi MatrixSpace(QQ,3) est un
synonyme de MatrixSpace(QQ,3,3)). L’espace des matrices est muni
de sa base canonique:
sage: B = M.basis()
sage: len(B)
9
sage: B[0,1]
[0 1 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
>>> from sage.all import *
>>> B = M.basis()
>>> len(B)
9
>>> B[Integer(0),Integer(1)]
[0 1 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
B = M.basis() len(B) B[0,1]
Nous créons une matrice comme un élément de M.
sage: A = M(range(9)); A
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]
>>> from sage.all import *
>>> A = M(range(Integer(9))); A
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]
A = M(range(9)); A
Puis, nous calculons sa forme échelonnée en ligne et son noyau.
sage: A.echelon_form()
[ 1 0 -1]
[ 0 1 2]
[ 0 0 0]
sage: A.kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:
[ 1 -2 1]
>>> from sage.all import *
>>> A.echelon_form()
[ 1 0 -1]
[ 0 1 2]
[ 0 0 0]
>>> A.kernel()
Vector space of degree 3 and dimension 1 over Rational Field
Basis matrix:
[ 1 -2 1]
A.echelon_form() A.kernel()
Puis nous illustrons les possibilités de calcul de matrices définies sur des corps finis :
sage: M = MatrixSpace(GF(2),4,8)
sage: A = M([1,1,0,0, 1,1,1,1, 0,1,0,0, 1,0,1,1,
....: 0,0,1,0, 1,1,0,1, 0,0,1,1, 1,1,1,0])
sage: A
[1 1 0 0 1 1 1 1]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 1 1 1 1 1 0]
sage: rows = A.rows()
sage: A.columns()
[(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1),
(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)]
sage: rows
[(1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1),
(0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0)]
>>> from sage.all import *
>>> M = MatrixSpace(GF(Integer(2)),Integer(4),Integer(8))
>>> A = M([Integer(1),Integer(1),Integer(0),Integer(0), Integer(1),Integer(1),Integer(1),Integer(1), Integer(0),Integer(1),Integer(0),Integer(0), Integer(1),Integer(0),Integer(1),Integer(1),
... Integer(0),Integer(0),Integer(1),Integer(0), Integer(1),Integer(1),Integer(0),Integer(1), Integer(0),Integer(0),Integer(1),Integer(1), Integer(1),Integer(1),Integer(1),Integer(0)])
>>> A
[1 1 0 0 1 1 1 1]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 1 1 1 1 1 0]
>>> rows = A.rows()
>>> A.columns()
[(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1),
(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)]
>>> rows
[(1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1),
(0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0)]
M = MatrixSpace(GF(2),4,8)
A = M([1,1,0,0, 1,1,1,1, 0,1,0,0, 1,0,1,1,
0,0,1,0, 1,1,0,1, 0,0,1,1, 1,1,1,0])
A
rows = A.rows()
A.columns()
rows
Nous créons le sous-espace engendré sur \(\GF{2}\) par les vecteurs lignes ci-dessus.
sage: V = VectorSpace(GF(2),8)
sage: S = V.subspace(rows)
sage: S
Vector space of degree 8 and dimension 4 over Finite Field of size 2
Basis matrix:
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
sage: A.echelon_form()
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
>>> from sage.all import *
>>> V = VectorSpace(GF(Integer(2)),Integer(8))
>>> S = V.subspace(rows)
>>> S
Vector space of degree 8 and dimension 4 over Finite Field of size 2
Basis matrix:
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
>>> A.echelon_form()
[1 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1]
[0 0 1 0 1 1 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 1]
V = VectorSpace(GF(2),8) S = V.subspace(rows) S A.echelon_form()
La base de \(S\) utilisée par Sage est obtenue à partir des lignes non nulles de la matrice des générateurs de \(S\) réduite sous forme échelonnée en lignes.
Algèbre linéaire creuse¶
Sage permet de travailler avec des matrices creuses sur des anneaux principaux.
sage: M = MatrixSpace(QQ, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
>>> from sage.all import *
>>> M = MatrixSpace(QQ, Integer(100), sparse=True)
>>> A = M.random_element(density = RealNumber('0.05'))
>>> E = A.echelon_form()
M = MatrixSpace(QQ, 100, sparse=True) A = M.random_element(density = 0.05) E = A.echelon_form()
L’algorithme multi-modulaire présent dans Sage fonctionne bien pour les matrices carrées (mais moins pour les autres) :
sage: M = MatrixSpace(QQ, 50, 100, sparse=True)
sage: A = M.random_element(density = 0.05)
sage: E = A.echelon_form()
sage: M = MatrixSpace(GF(2), 20, 40, sparse=True)
sage: A = M.random_element()
sage: E = A.echelon_form()
>>> from sage.all import *
>>> M = MatrixSpace(QQ, Integer(50), Integer(100), sparse=True)
>>> A = M.random_element(density = RealNumber('0.05'))
>>> E = A.echelon_form()
>>> M = MatrixSpace(GF(Integer(2)), Integer(20), Integer(40), sparse=True)
>>> A = M.random_element()
>>> E = A.echelon_form()
M = MatrixSpace(QQ, 50, 100, sparse=True) A = M.random_element(density = 0.05) E = A.echelon_form() M = MatrixSpace(GF(2), 20, 40, sparse=True) A = M.random_element() E = A.echelon_form()
Notez que Python distingue les majuscules des minuscules :
sage: M = MatrixSpace(QQ, 10,10, Sparse=True)
Traceback (most recent call last):
...
TypeError: ...__init__() got an unexpected keyword argument 'Sparse'
>>> from sage.all import *
>>> M = MatrixSpace(QQ, Integer(10),Integer(10), Sparse=True)
Traceback (most recent call last):
...
TypeError: ...__init__() got an unexpected keyword argument 'Sparse'
M = MatrixSpace(QQ, 10,10, Sparse=True)