Sageガイドツアー

以下では，『Mathematicaブック』冒頭のMathematica紹介をなぞって，Sageの紹介を試みる．

電卓としてのSage

Sageのコマンドラインに表示されている sage: プロンプトを入力する必要はない． Sageノートブックを使っている場合， sage: に続く全てを入力セルに入れて shift-enter と押すと計算出力が得られる．

Sage

sage: 3 + 5
8

Python

>>> from sage.all import *
>>> Integer(3) + Integer(5)
8

Sage Live

3 + 5

キャレット記号 ^ は「べき乗」を表わす．

Sage

sage: 57.1 ^ 100
4.60904368661396e175

Python

>>> from sage.all import *
>>> RealNumber('57.1') ** Integer(100)
4.60904368661396e175

Sage Live

57.1 ^ 100

Sageで \(2 \times 2\) 行列の逆行列を計算してみよう．

Sage

sage: matrix([[1,2], [3,4]])^(-1)
[  -2    1]
[ 3/2 -1/2]

Python

>>> from sage.all import *
>>> matrix([[Integer(1),Integer(2)], [Integer(3),Integer(4)]])**(-Integer(1))
[  -2    1]
[ 3/2 -1/2]

Sage Live

matrix([[1,2], [3,4]])^(-1)

初等的な関数を積分する．

Sage

sage: x = var('x')   # 記号変数を定義
sage: integrate(sqrt(x)*sqrt(1+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) - 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')   # 記号変数を定義
>>> integrate(sqrt(x)*sqrt(Integer(1)+x), x)
1/4*((x + 1)^(3/2)/x^(3/2) + sqrt(x + 1)/sqrt(x))/((x + 1)^2/x^2 - 2*(x + 1)/x + 1) - 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) + 1) + 1/8*log(sqrt(x + 1)/sqrt(x) - 1)

Sage Live

x = var('x')   # 記号変数を定義
integrate(sqrt(x)*sqrt(1+x), x)

以下ではSageに2次方程式を解かせる． Sageでは等号として記号 == を使う．

Sage

sage: a = var('a')
sage: S = solve(x^2 + x == a, x); S
[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]

Python

>>> from sage.all import *
>>> a = var('a')
>>> S = solve(x**Integer(2) + x == a, x); S
[x == -1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2, x == 1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2]

Sage Live

a = var('a')
S = solve(x^2 + x == a, x); S

結果は等式のリストになっている．

Sage

sage: S[0].rhs()
-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2

Python

>>> from sage.all import *
>>> S[Integer(0)].rhs()
-1/2*sqrt(4*a + 1) - 1/2

Sage Live

S[0].rhs()

もちろん，よく使われる種々の関数をプロットすることもできる．

Sage

sage: show(plot(sin(x) + sin(1.6*x), 0, 40))

Python

>>> from sage.all import *
>>> show(plot(sin(x) + sin(RealNumber('1.6')*x), Integer(0), Integer(40)))

Sage Live

show(plot(sin(x) + sin(1.6*x), 0, 40))

Sageで力まかせに計算

まず要素値が乱数で与えられる \(500 \times 500\) 行列を作っておく．

Sage

sage: m = random_matrix(RDF,500)

Python

>>> from sage.all import *
>>> m = random_matrix(RDF,Integer(500))

Sage Live

m = random_matrix(RDF,500)

Sageでこの行列の固有値を計算してプロットするのも二，三秒程度の仕事だ．

Sage

sage: e = m.eigenvalues()  # 約2秒
sage: w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
sage: show(points(w))

Python

>>> from sage.all import *
>>> e = m.eigenvalues()  # 約2秒
>>> w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
>>> show(points(w))

Sage Live

e = m.eigenvalues()  # 約2秒
w = [(i, abs(e[i])) for i in range(len(e))]
show(points(w))

GNU多倍長ライブラリ(GMP)のおかげで，Sageは数百万から数十億桁までの非常に大きな数を扱うことができる．

Sage

sage: factorial(100)
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
sage: n = factorial(1000000)  # 2.5秒ほどかかる

Python

>>> from sage.all import *
>>> factorial(Integer(100))
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
>>> n = factorial(Integer(1000000))  # 2.5秒ほどかかる

Sage Live

factorial(100)
n = factorial(1000000)  # 2.5秒ほどかかる

以下では \(\pi\) を，少なくとも100桁まで計算する．

Sage

sage: N(pi, digits=100)
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

Python

>>> from sage.all import *
>>> N(pi, digits=Integer(100))
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068

Sage Live

N(pi, digits=100)

Sageに2変数多項式を因数分解させる．

Sage

sage: R.<x,y> = QQ[]
sage: F = factor(x^99 + y^99)
sage: F
(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *
(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +
 x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *
(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 -
 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 -
 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 -
 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 -
 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 -
 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
sage: F.expand()
x^99 + y^99

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = QQ['x, y']; (x, y,) = R._first_ngens(2)
>>> F = factor(x**Integer(99) + y**Integer(99))
>>> F
(x + y) * (x^2 - x*y + y^2) * (x^6 - x^3*y^3 + y^6) *
(x^10 - x^9*y + x^8*y^2 - x^7*y^3 + x^6*y^4 - x^5*y^5 +
 x^4*y^6 - x^3*y^7 + x^2*y^8 - x*y^9 + y^10) *
(x^20 + x^19*y - x^17*y^3 - x^16*y^4 + x^14*y^6 + x^13*y^7 -
 x^11*y^9 - x^10*y^10 - x^9*y^11 + x^7*y^13 + x^6*y^14 -
 x^4*y^16 - x^3*y^17 + x*y^19 + y^20) * (x^60 + x^57*y^3 -
 x^51*y^9 - x^48*y^12 + x^42*y^18 + x^39*y^21 - x^33*y^27 -
 x^30*y^30 - x^27*y^33 + x^21*y^39 + x^18*y^42 - x^12*y^48 -
 x^9*y^51 + x^3*y^57 + y^60)
>>> F.expand()
x^99 + y^99

Sage Live

R.<x,y> = QQ[]
F = factor(x^99 + y^99)
F
F.expand()

Sageでは，1億を正整数の和として表す仕方を計算するにも5秒以下しかかからない．

Sage

sage: z = Partitions(10^8).cardinality() # 約4.5秒
sage: str(z)[:40]
'1760517045946249141360373894679135204009'

Python

>>> from sage.all import *
>>> z = Partitions(Integer(10)**Integer(8)).cardinality() # 約4.5秒
>>> str(z)[:Integer(40)]
'1760517045946249141360373894679135204009'

Sage Live

z = Partitions(10^8).cardinality() # 約4.5秒
str(z)[:40]

Sageにおけるアルゴリズム群の利用

Sageを使うということは，オープンソース計算アルゴリズムの世界最大級の集大成を利用できることを意味している．

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