ペアレント，型変換および型強制¶

この節の内容はこれまでと比べるとテクニカルな感じがするかもしれない．しかし，ペアレントと型強制の意味について理解しておかないと，Sageにおける環その他の代数構造を有効かつ効率的に利用することができないのである．

以下で試みるのは概念の解説であって，それをどうやって実現するかまでは示すことはできない．実装法に関するチュートリアルは Sage thematic tutorial にある．

元¶

ある環をPythonを使って実装する場合，その第一歩は目的の環の元 X を表すクラスを作り， __add__ ， __sub__ ， __mul__ のようなダブルアンダースコアメソッド(フックメソッド)によって環の公理を保証する演算を実現することだ．

Pythonは(ダイナミックではあっても)強い型付けがなされる言語なので，最初のうちは環それぞれを一つのPythonクラスで実装すべきだろうと思うかもしれない．なんと言っても，Pythonは整数については <int> ，実数については <float> といった具合に型を一つづつ備えているわけだし．しかし，このやり方はすぐに行き詰まらないわけにはいかない．環の種類が無限だからと言って，対応するクラスを無限に実装することはできないからだ．

代りに，群，環，斜体(加除環)，可換環，体，代数系などという順で，普遍的な代数構造の実装を目的とするクラスの階層を作りあげようとする人もいるかもしれない．

しかし，これは明確に異なる環に属する元が同じ型を持ちうることを意味する．

Sage

sage: P.<x,y> = GF(3)[]
sage: Q.<a,b> = GF(4,'z')[]
sage: type(x)==type(a)
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> P = GF(Integer(3))['x, y']; (x, y,) = P._first_ngens(2)
>>> Q = GF(Integer(4),'z')['a, b']; (a, b,) = Q._first_ngens(2)
>>> type(x)==type(a)
True

Sage Live

P.<x,y> = GF(3)[]
Q.<a,b> = GF(4,'z')[]
type(x)==type(a)

一方，数学的には同等の構造物に対して，(例えば密行列と疎行列に対するように)別々のPythonクラスが異なった形で実装されることもありうる．

Sage

sage: P.<a> = PolynomialRing(ZZ)
sage: Q.<b> = PolynomialRing(ZZ, sparse=True)
sage: R.<c> = PolynomialRing(ZZ, implementation='NTL')
sage: type(a); type(b); type(c)
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_integer_dense_flint.Polynomial_integer_dense_flint'>
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_ring.PolynomialRing_integral_domain_with_category.element_class'>
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_integer_dense_ntl.Polynomial_integer_dense_ntl'>

Python

>>> from sage.all import *
>>> P = PolynomialRing(ZZ, names=('a',)); (a,) = P._first_ngens(1)
>>> Q = PolynomialRing(ZZ, sparse=True, names=('b',)); (b,) = Q._first_ngens(1)
>>> R = PolynomialRing(ZZ, implementation='NTL', names=('c',)); (c,) = R._first_ngens(1)
>>> type(a); type(b); type(c)
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_integer_dense_flint.Polynomial_integer_dense_flint'>
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_ring.PolynomialRing_integral_domain_with_category.element_class'>
<class 'sage.rings.polynomial.polynomial_integer_dense_ntl.Polynomial_integer_dense_ntl'>

Sage Live

P.<a> = PolynomialRing(ZZ)
Q.<b> = PolynomialRing(ZZ, sparse=True)
R.<c> = PolynomialRing(ZZ, implementation='NTL')
type(a); type(b); type(c)

以上から，解決すべき問題は二系統あることが分る．ある二つの元が同じPythonクラス由来のインスタンスであるとすると，付随する __add__ メソッドによる加算が可能になっているはずだ．しかし，これら二つが数学的には非常に異なる環に属しているのならば，加算は不能にしておきたい．一方，数学的に同一の環に属している元に対しては，異なる実装に由来していてもそれらの元の加算は可能であるべきだろう．異なるPythonクラスに由来する限り，これは簡単に実現できることではない．

これらの問題に対する解は「型強制」(coercion)と呼ばれており，以降で解説する．

しかし，まず肝心なのは，全ての元が自分の帰属先を知っていることだ．これを可能にするのが parent() メソッドである:

Sage

sage: a.parent(); b.parent(); c.parent()
Univariate Polynomial Ring in a over Integer Ring
Sparse Univariate Polynomial Ring in b over Integer Ring
Univariate Polynomial Ring in c over Integer Ring (using NTL)

Python

>>> from sage.all import *
>>> a.parent(); b.parent(); c.parent()
Univariate Polynomial Ring in a over Integer Ring
Sparse Univariate Polynomial Ring in b over Integer Ring
Univariate Polynomial Ring in c over Integer Ring (using NTL)

Sage Live

a.parent(); b.parent(); c.parent()

ペアレントとカテゴリー¶

Pythonが代数構造の元に対応するクラス階層を備えているように，Sageもそれらの元を含む代数構造に対応するクラス群を提供している． Sageでは元が属する構造物のことを「ペアレント構造」(parent structure)と呼び，基底となるクラスを持つ．そうしたクラス群は，おおむね数学的概念に沿った形で，集合，環，体などといった順の階層を形成している．

Sage

sage: isinstance(QQ,Field)
True
sage: isinstance(QQ, Ring)
True
sage: isinstance(ZZ,Field)
False
sage: isinstance(ZZ, Ring)
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> isinstance(QQ,Field)
True
>>> isinstance(QQ, Ring)
True
>>> isinstance(ZZ,Field)
False
>>> isinstance(ZZ, Ring)
True

Sage Live

isinstance(QQ,Field)
isinstance(QQ, Ring)
isinstance(ZZ,Field)
isinstance(ZZ, Ring)

代数学では，同じ種類の代数構造を共有する物を，いわゆる「圏」(category)と呼ばれるものに集約して扱う． Sageのクラス階層と圏の階層構造にはそれなりに類似が見られないでもない．しかし，Pythonクラスについては圏との類似はあまり強調すべきものでもなさそうだ．いずれにせよ，数学的な意味における圏はSageでも実装されている:

Sage

sage: Rings()
Category of rings
sage: ZZ.category()
Join of Category of Dedekind domains
    and Category of euclidean domains
    and Category of noetherian rings
    and Category of infinite enumerated sets
    and Category of metric spaces
sage: ZZ.category().is_subcategory(Rings())
True
sage: ZZ in Rings()
True
sage: ZZ in Fields()
False
sage: QQ in Fields()
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> Rings()
Category of rings
>>> ZZ.category()
Join of Category of Dedekind domains
    and Category of euclidean domains
    and Category of noetherian rings
    and Category of infinite enumerated sets
    and Category of metric spaces
>>> ZZ.category().is_subcategory(Rings())
True
>>> ZZ in Rings()
True
>>> ZZ in Fields()
False
>>> QQ in Fields()
True

Sage Live

Rings()
ZZ.category()
ZZ.category().is_subcategory(Rings())
ZZ in Rings()
ZZ in Fields()
QQ in Fields()

Sageにおけるクラス階層は具体的実装に焦点が当てられている一方，Sageの圏フレームワークではより数学的な構造が重視されている．圏に対する個々の実装からは独立した，包括的なメソッドとテストを構成することが可能である．

Sageにおけるペアレント構造は，Pythonオブジェクトとして唯一のものであると仮定されている．例えば，いったんある基底環上の多項式環が生成元と共に作成されると，その結果は実記憶上に配置される:

Sage

sage: RR['x','y'] is RR['x','y']
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> RR['x','y'] is RR['x','y']
True

Sage Live

RR['x','y'] is RR['x','y']

型とペアレント¶

RingElement 型は数学的概念としての「環の元」に完璧に対応しているわけではない．例えば，正方行列は一つの環に属していると見なしうるにもかかわらず， RingElement のインスタンスにはならない:

Sage

sage: M = Matrix(ZZ,2,2); M
[0 0]
[0 0]
sage: isinstance(M, RingElement)
False

Python

>>> from sage.all import *
>>> M = Matrix(ZZ,Integer(2),Integer(2)); M
[0 0]
[0 0]
>>> isinstance(M, RingElement)
False

Sage Live

M = Matrix(ZZ,2,2); M
isinstance(M, RingElement)

ペアレント が唯一のものであるとしても，同じSageのペアレントに由来する対等な元までが同一になるとは限らない．この辺りはPythonの(全てではないにしても)整数の振舞いとは違っている．

Sage

sage: int(1) is int(1) # Pythonのint型
True
sage: int(-15) is int(-15)
False
sage: 1 is 1           # Sageの整数
False

Python

>>> from sage.all import *
>>> int(Integer(1)) is int(Integer(1)) # Pythonのint型
True
>>> int(-Integer(15)) is int(-Integer(15))
False
>>> Integer(1) is Integer(1)           # Sageの整数
False

Sage Live

int(1) is int(1) # Pythonのint型
int(-15) is int(-15)
1 is 1           # Sageの整数

重要なのは，異なる環に由来する元は，一般にその型ではなくペアレントによって判別されることである:

Sage

sage: a = GF(2)(1)
sage: b = GF(5)(1)
sage: type(a) is type(b)
True
sage: parent(a)
Finite Field of size 2
sage: parent(b)
Finite Field of size 5

Python

>>> from sage.all import *
>>> a = GF(Integer(2))(Integer(1))
>>> b = GF(Integer(5))(Integer(1))
>>> type(a) is type(b)
True
>>> parent(a)
Finite Field of size 2
>>> parent(b)
Finite Field of size 5

Sage Live

a = GF(2)(1)
b = GF(5)(1)
type(a) is type(b)
parent(a)
parent(b)

とういうわけで，代数学的な立場からすると 元のペアレントはその型より重要である ことになる．

ペアレント，型変換および型強制¶

元¶

ペアレントとカテゴリー¶

型とペアレント¶

型変換と型強制¶