Получение помощи¶
В Sage есть исчерпывающая встроенная документация, к которой можно получить доступ, напечатав имя функции или константы с последующим вопросительным знаком:
sage: tan?
Type: <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition: tan( [noargspec] )
Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:
sage: tan(pi)
0
sage: tan(3.1415)
-0.0000926535900581913
sage: tan(3.1415/4)
0.999953674278156
sage: tan(pi/4)
1
sage: tan(1/2)
tan(1/2)
sage: RR(tan(1/2))
0.546302489843790
sage: log2?
Type: <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition: log2( [noargspec] )
Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
sage: log2
log2
sage: float(log2)
0.69314718055994529
sage: RR(log2)
0.693147180559945
sage: R = RealField(200); R
Real Field with 200 bits of precision
sage: R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
sage: l = (1-log2)/(1+log2); l
(1 - log(2))/(log(2) + 1)
sage: R(l)
0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
sage: maxima(log2)
log(2)
sage: maxima(log2).float()
.6931471805599453
sage: gp(log2)
0.6931471805599453094172321215 # 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807 # 64-bit
sage: sudoku?
File: sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type: <... 'function'>
Definition: sudoku(A)
Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:
sage: A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0,
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
sage: A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
sage: sudoku(A)
[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]
>>> from sage.all import *
>>> tan?
Type: <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition: tan( [noargspec] )
Docstring:
The tangent function
EXAMPLES:
>>> tan(pi)
0
>>> tan(RealNumber('3.1415'))
-0.0000926535900581913
>>> tan(RealNumber('3.1415')/Integer(4))
0.999953674278156
>>> tan(pi/Integer(4))
1
>>> tan(Integer(1)/Integer(2))
tan(1/2)
>>> RR(tan(Integer(1)/Integer(2)))
0.546302489843790
>>> log2?
Type: <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition: log2( [noargspec] )
Docstring:
The natural logarithm of the real number 2.
EXAMPLES:
>>> log2
log2
>>> float(log2)
0.69314718055994529
>>> RR(log2)
0.693147180559945
>>> R = RealField(Integer(200)); R
Real Field with 200 bits of precision
>>> R(log2)
0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
>>> l = (Integer(1)-log2)/(Integer(1)+log2); l
(1 - log(2))/(log(2) + 1)
>>> R(l)
0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
>>> maxima(log2)
log(2)
>>> maxima(log2).float()
.6931471805599453
>>> gp(log2)
0.6931471805599453094172321215 # 32-bit
0.69314718055994530941723212145817656807 # 64-bit
>>> sudoku?
File: sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type: <... 'function'>
Definition: sudoku(A)
Docstring:
Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.
EXAMPLE:
>>> A = matrix(ZZ,Integer(9),[Integer(5),Integer(0),Integer(0), Integer(0),Integer(8),Integer(0), Integer(0),Integer(4),Integer(9), Integer(0),Integer(0),Integer(0), Integer(5),Integer(0),Integer(0),
0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0, 0,3,0, 0,0,2,
0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
>>> A
[5 0 0 0 8 0 0 4 9]
[0 0 0 5 0 0 0 3 0]
[0 6 7 3 0 0 0 0 1]
[1 5 0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 2 0 8 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 0 1 8]
[7 0 0 0 0 4 1 5 0]
[0 3 0 0 0 2 0 0 0]
[4 9 0 0 5 0 0 0 3]
>>> sudoku(A)
[5 1 3 6 8 7 2 4 9]
[8 4 9 5 2 1 6 3 7]
[2 6 7 3 4 9 5 8 1]
[1 5 8 4 6 3 9 7 2]
[9 7 4 2 1 8 3 6 5]
[3 2 6 7 9 5 4 1 8]
[7 8 2 9 3 4 1 5 6]
[6 3 5 1 7 2 8 9 4]
[4 9 1 8 5 6 7 2 3]
tan? tan(pi) tan(3.1415) tan(3.1415/4) tan(pi/4) tan(1/2) RR(tan(1/2)) log2? log2 float(log2) RR(log2) R = RealField(200); R R(log2) l = (1-log2)/(1+log2); l R(l) maxima(log2) maxima(log2).float() gp(log2) sudoku? A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0, A sudoku(A)
Sage также предоставляет возможность „Автозавершения“: напечатайте
несколько первых букв названия функции и нажмите TAB. Например,
если напечатать ta и нажать TAB, Sage выведет tachyon, tan,
tanh, taylor. Данная функция является хорошим способом поиска имен
функций или других конструкций в Sage.
Функции, отступы и счетчики¶
Для того, чтобы определить функцию в Sage, используйте команду def
и двоеточие после списка имен переменных:
sage: def is_even(n):
....: return n%2 == 0
sage: is_even(2)
True
sage: is_even(3)
False
>>> from sage.all import *
>>> def is_even(n):
... return n%Integer(2) == Integer(0)
>>> is_even(Integer(2))
True
>>> is_even(Integer(3))
False
def is_even(n):
return n%2 == 0
is_even(2)
is_even(3)
Заметка: В зависимости от версии учебного пособия на второй строке
этого примера можно увидеть ....:. Не печатайте их, так как они служат
лишь для того, чтобы показать отступы в коде.
Не определяйте типов аргументов. Можно определить несколько видов ввода,
аргументы которых могут иметь значения по умолчанию. Например, функция в
следующем примере использует divisor=2, если divisor не задан.
sage: def is_divisible_by(number, divisor=2):
....: return number%divisor == 0
sage: is_divisible_by(6,2)
True
sage: is_divisible_by(6)
True
sage: is_divisible_by(6, 5)
False
>>> from sage.all import *
>>> def is_divisible_by(number, divisor=Integer(2)):
... return number%divisor == Integer(0)
>>> is_divisible_by(Integer(6),Integer(2))
True
>>> is_divisible_by(Integer(6))
True
>>> is_divisible_by(Integer(6), Integer(5))
False
def is_divisible_by(number, divisor=2):
return number%divisor == 0
is_divisible_by(6,2)
is_divisible_by(6)
is_divisible_by(6, 5)
Также можно задавать вводные данные в явном виде при вызове функции. Если задавать параметры явно, то порядок не важен:
sage: is_divisible_by(6, divisor=5)
False
sage: is_divisible_by(divisor=2, number=6)
True
>>> from sage.all import *
>>> is_divisible_by(Integer(6), divisor=Integer(5))
False
>>> is_divisible_by(divisor=Integer(2), number=Integer(6))
True
is_divisible_by(6, divisor=5) is_divisible_by(divisor=2, number=6)
В Python блоки кода не отделяются фигурными скобками или другими
обозначениями, как в других языках. Вместо этого используются отступы.
Например, следующее выдаст синтаксическую ошибку, так как перед return
нет такого же количества отступов, как в предыдущих строках.
sage: def even(n):
....: v = []
....: for i in range(3,n):
....: if i % 2 == 0:
....: v.append(i)
....: return v
Syntax Error:
return v
>>> from sage.all import *
>>> def even(n):
... v = []
... for i in range(Integer(3),n):
... if i % Integer(2) == Integer(0):
... v.append(i)
... return v
Syntax Error:
return v
def even(n):
v = []
for i in range(3,n):
if i % 2 == 0:
v.append(i)
return v
Если добавить отступы, функция будет работать:
sage: def even(n):
....: v = []
....: for i in range(3,n):
....: if i % 2 == 0:
....: v.append(i)
....: return v
sage: even(10)
[4, 6, 8]
>>> from sage.all import *
>>> def even(n):
... v = []
... for i in range(Integer(3),n):
... if i % Integer(2) == Integer(0):
... v.append(i)
... return v
>>> even(Integer(10))
[4, 6, 8]
def even(n):
v = []
for i in range(3,n):
if i % 2 == 0:
v.append(i)
return v
even(10)
Точки с запятой не нужны на концах строк. Можно расположить несколько утверждений на одной строке, отделенных точками с запятой:
sage: a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
64
>>> from sage.all import *
>>> a = Integer(5); b = a + Integer(3); c = b**Integer(2); c
64
a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
Если требуется расположить строку кода на нескольких строках, используйте \:
sage: 2 + \
....: 3
5
>>> from sage.all import *
>>> Integer(2) + Integer(3)
5
2 + \ 3
В Sage счетчики производят итерации по интервалу целых чисел. Например,
первая строчка в примере означает то же самое, что for(i=0; i<3; i++)
в C++ или Java:
sage: for i in range(3):
....: print(i)
0
1
2
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(3)):
... print(i)
0
1
2
for i in range(3):
print(i)
Первая строчка в следующем примере эквивалентна for(i=2;i<5;i++).
sage: for i in range(2,5):
....: print(i)
2
3
4
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(2),Integer(5)):
... print(i)
2
3
4
for i in range(2,5):
print(i)
Третий аргумент задает шаг. Следующее эквивалентно for(i=1;i<6;i+=2).
sage: for i in range(1,6,2):
....: print(i)
1
3
5
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(1),Integer(6),Integer(2)):
... print(i)
1
3
5
for i in range(1,6,2):
print(i)
Часто требуется создать таблицу для вывода чисел, посчитанных в Sage. Легкий способ — использовать форматирование строк. Ниже создается таблица с тремя столбцами шириной 6, содержащая таблицу квадратов и кубов:
sage: for i in range(5):
....: print('%6s %6s %6s' % (i, i^2, i^3))
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
>>> from sage.all import *
>>> for i in range(Integer(5)):
... print('%6s %6s %6s' % (i, i**Integer(2), i**Integer(3)))
0 0 0
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
for i in range(5):
print('%6s %6s %6s' % (i, i^2, i^3))
Самым базовым типом данных в Sage является список — набор различных
объектов. Например, команда range создаст список:
sage: list(range(2,10))
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> from sage.all import *
>>> list(range(Integer(2),Integer(10)))
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
list(range(2,10))
Далее показан пример более сложного списка:
sage: v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)]
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]
>>> from sage.all import *
>>> v = [Integer(1), "hello", Integer(2)/Integer(3), sin(x**Integer(3))]
>>> v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]
v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)] v
Индексы в списке начинаются с нуля, как во многих языках программирования.
sage: v[0]
1
sage: v[3]
sin(x^3)
>>> from sage.all import *
>>> v[Integer(0)]
1
>>> v[Integer(3)]
sin(x^3)
v[0] v[3]
Используйте len(v) для того, чтобы получить длину v; v.append(obj)
для того, чтобы добавить новый объект к концу v, и del v[i], чтобы
удалить \(i\)-й элемент из v:
sage: len(v)
4
sage: v.append(1.5)
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
sage: del v[1]
sage: v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
>>> from sage.all import *
>>> len(v)
4
>>> v.append(RealNumber('1.5'))
>>> v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
>>> del v[Integer(1)]
>>> v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
len(v) v.append(1.5) v del v[1] v
Другой очень важный тип данных — словарь (или ассоциативный массив). Он работает, как список, но может быть индексирован почти любым объектом (индексы должны быть неизменимыми):
sage: d = {'hi':-2, 3/8:pi, e:pi}
sage: d['hi']
-2
sage: d[e]
pi
>>> from sage.all import *
>>> d = {'hi':-Integer(2), Integer(3)/Integer(8):pi, e:pi}
>>> d['hi']
-2
>>> d[e]
pi
d = {'hi':-2, 3/8:pi, e:pi}
d['hi']
d[e]
Также можно определить новый тип данных с использованием классов.
Инкапсулирование математических объектов в классах — это мощная техника,
которая может помочь упростить и организовать программы в Sage. Ниже
показан пример класса, который состоит из списка положительных чётных
целых чисел до n; он получен из встроенного типа list.
sage: class Evens(list):
....: def __init__(self, n):
....: self.n = n
....: list.__init__(self, range(2, n+1, 2))
....: def __repr__(self):
....: return "Even positive numbers up to n."
>>> from sage.all import *
>>> class Evens(list):
... def __init__(self, n):
... self.n = n
... list.__init__(self, range(Integer(2), n+Integer(1), Integer(2)))
... def __repr__(self):
... return "Even positive numbers up to n."
class Evens(list):
def __init__(self, n):
self.n = n
list.__init__(self, range(2, n+1, 2))
def __repr__(self):
return "Even positive numbers up to n."
Метод __init__ вызывается для инициализации объекта при его
создании; метод __repr__ выведет все объекты. Конструктор списка
вызывается во второй строчке метода __init__. Объект класса Evens
создается в следующем виде:
sage: e = Evens(10)
sage: e
Even positive numbers up to n.
>>> from sage.all import *
>>> e = Evens(Integer(10))
>>> e
Even positive numbers up to n.
e = Evens(10) e
Заметьте, что e выводится с помощью метода __repr__, который был
задан нами. Для просмотра списка чисел используйте функцию list:
sage: list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]
>>> from sage.all import *
>>> list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]
list(e)
Можно обратиться к атрибуту n или использовать e как список.
sage: e.n
10
sage: e[2]
6
>>> from sage.all import *
>>> e.n
10
>>> e[Integer(2)]
6
e.n e[2]