Программирование¶

Загрузка и прикрепление файлов Sage¶

Следующее показывает, как подгружать программы в Sage, записанные в отдельный файл. Создайте файл example.sage со следующим содержанием:

print("Hello World")
print(2^3)

Вы можете прочитать и выполнить example.sage с помощью команды load.

Sage

sage: load("example.sage")
Hello World
8

Python

>>> from sage.all import *
>>> load("example.sage")
Hello World
8

Sage Live

load("example.sage")

Вы также можете прикрепить файл Sage к запущенной сессии в помощью команды attach:

Sage

sage: attach("example.sage")
Hello World
8

Python

>>> from sage.all import *
>>> attach("example.sage")
Hello World
8

Sage Live

attach("example.sage")

Теперь если вы измените файл example.sage и введете пустую строку в Sage (т.е. нажмите return), то содержимое example.sage будет автоматически перегружено в Sage.

В частности, attach автоматически перегружает файл, как только он изменен, что очень удобно при поиске ошибок в коде, тогда как load загружает файл лишь единожды.

Когда example.sage загружается в Sage, он переводится в Python, а затем выполняется с помощью интерпретатора Python. Затраты на данную операцию минимальны; в основном, это включает в себя перевод целых констант в Integer(), дробных констант в RealNumber(), замену ^ на ** и, например, R.2 на R.gen(2). Переведенная версия example.sage будет содержаться в той же директории, что example.sage, под названием example.sage.py. Данный файл будет содержать следующий код:

print("Hello World")
print(Integer(2)**Integer(3))

Целые контстанты переведены и ^ заменено на **. (В Python ^ означает «исключающее ИЛИ» и ** означает «возведение в степень».)

Данные операции выполняются в sage/misc/interpreter.py.)

Вы имеете возможность вставлять многострочный код с отступами в Sage до тех пор, пока есть новые строки для новых блоков (это необязательно для файлов). Однако, лучшим способом для вставки такого кода является сохранение в файл и использование attach, как описано выше.

Создание компилированного кода¶

Скорость — важная составляющая в математических вычислениях. Хотя Python является высокоуровневым языком программирования, некоторые вычисления могут быть выполнены на несколько порядков быстрее в Python при использовании статических типов данных при компилировании. Некоторые компоненты Sage были бы слишком медленными, будь он написан целиком на Python. Для этого Sage поддерживает компилированную «версию» Python, которая называется Cython ([Cyt] и [Pyr]). Cython одновременно похож и на Python, и на C. Большинство конструкций Python, включая представление списков, условные выражения, код наподобие +=, разрешены; вы также можете импортировать код, написанный в других модулях Python. Кроме того, вы можете объявлять произвольные переменные C и напрямую обращаться к библиотекам C. Конечный код будет сконвертирован в C и обработан компилятором C.

Для того, чтобы создать компилируемый код в Sage, объявите файл с расширением .spyx (вместо .sage). Если вы работаете с интерфейсом коммандной строки, вы можете прикреплять и загружать компилируемый код точно так же, как и интерпретируемый (на данный момент, прикрепление и загрузка кода на Cython не поддерживается в интерфейсе Notebook). Само компилирование происходит «за кулисами», не требуя каких-либо действий с вашей стороны. Компилированная библиотека общих объектов содержится в $HOME/.sage/temp/hostname/pid/spyx. Эти файлы будут удалены при выходе из Sage.

Пре-парсировка не применяется к spyx файлам. Например 1/3 превратится в 0 в spyx файле вместо рационального числа $1/3$. Допустим, foo - это функция в библиотеке Sage. Для того, чтобы использовать ее из spyx-файла, импортируйте sage.all и примените sage.all.foo.

import sage.all
def foo(n):
    return sage.all.factorial(n)

Доступ к функциям С из внешних файлов¶

Доступ к функциям C из внешних *.c файлов осуществляется довольно просто. Создайте файлы test.c и test.spyx в одной директории со следующим содержанием:

Код на языке С: test.c

int add_one(int n) {
  return n + 1;
}

Код на языке Cython: test.spyx:

cdef extern from "test.c":
    int add_one(int n)

def test(n):
    return add_one(n)

Выполните:

Sage

sage: attach("test.spyx")
Compiling (...)/test.spyx...
sage: test(10)
11

Python

>>> from sage.all import *
>>> attach("test.spyx")
Compiling (...)/test.spyx...
>>> test(Integer(10))
11

Sage Live

attach("test.spyx")
test(10)

В том случае, если понадобится дополнительная библиотека foo для того, чтобы скомпилировать код на C, полученный из файла Cython, добавьте clib foo в источник Cython кода. Аналогично, дополнительный С файл bar может быть добавлен в компиляцию с объявлением cfile bar.

Самостоятельные скрипты Python/Sage¶

Данный самостоятельный скрипт Sage раскладывает на множители целые числа, полиномы и т.д.:

#!/usr/bin/env sage

import sys

if len(sys.argv) != 2:
    print("Usage: %s <n>" % sys.argv[0])
    print("Outputs the prime factorization of n.")
    sys.exit(1)

print(factor(sage_eval(sys.argv[1])))

Для того, чтобы использовать этот скрипт, SAGE_ROOT должен быть в PATH. Если вышеописанный скрипт называется factor, следующее показывает, как его выполнить:

bash $ ./factor 2006
2 * 17 * 59

Словари¶

Словарь (также именуемый ассоциативным массивом) - это сопоставление „хэшируемых“ объектов (как строки, числа и кортежи из них; см. документацию Python: http://docs.python.org/tut/node7.html и http://docs.python.org/lib/typesmapping.html) произвольным объектам.

Sage

sage: d = {1:5, 'sage':17, ZZ:GF(7)}
sage: type(d)
<... 'dict'>
sage: list(d.keys())
[1, 'sage', Integer Ring]
sage: d['sage']
17
sage: d[ZZ]
Finite Field of size 7
sage: d[1]
5

Python

>>> from sage.all import *
>>> d = {Integer(1):Integer(5), 'sage':Integer(17), ZZ:GF(Integer(7))}
>>> type(d)
<... 'dict'>
>>> list(d.keys())
[1, 'sage', Integer Ring]
>>> d['sage']
17
>>> d[ZZ]
Finite Field of size 7
>>> d[Integer(1)]
5

Sage Live

d = {1:5, 'sage':17, ZZ:GF(7)}
type(d)
list(d.keys())
d['sage']
d[ZZ]
d[1]

Третий ключ показывает, что индексы словаря могу быть сложными, как, например, кольцо целых чисел.

Можно превратить вышеописанный словарь в список с тем же содержимым:

Sage

sage: list(d.items())
[(1, 5), ('sage', 17), (Integer Ring, Finite Field of size 7)]

Python

>>> from sage.all import *
>>> list(d.items())
[(1, 5), ('sage', 17), (Integer Ring, Finite Field of size 7)]

Sage Live

list(d.items())

Часто используемой практикой является произведение итераций по парам в словаре:

Sage

sage: d = {2:4, 3:9, 4:16}
sage: [a*b for a, b in d.items()]
[8, 27, 64]

Python

>>> from sage.all import *
>>> d = {Integer(2):Integer(4), Integer(3):Integer(9), Integer(4):Integer(16)}
>>> [a*b for a, b in d.items()]
[8, 27, 64]

Sage Live

d = {2:4, 3:9, 4:16}
[a*b for a, b in d.items()]

Как показывает последний пример, словарь не упорядочен.

Множества¶

В Python есть встроенный тип множество. Главным преимуществом этого типа является быстрый просмотр, проверка того, принадлежит ли элемент множеству, а также обычные операции из теории множеств.

Sage

sage: X = set([1,19,'a']);   Y = set([1,1,1, 2/3])
sage: X   # random sort order
{1, 19, 'a'}
sage: X == set(['a', 1, 1, 19])
True
sage: Y
{2/3, 1}
sage: 'a' in X
True
sage: 'a' in Y
False
sage: X.intersection(Y)
{1}

Python

>>> from sage.all import *
>>> X = set([Integer(1),Integer(19),'a']);   Y = set([Integer(1),Integer(1),Integer(1), Integer(2)/Integer(3)])
>>> X   # random sort order
{1, 19, 'a'}
>>> X == set(['a', Integer(1), Integer(1), Integer(19)])
True
>>> Y
{2/3, 1}
>>> 'a' in X
True
>>> 'a' in Y
False
>>> X.intersection(Y)
{1}

Sage Live

X = set([1,19,'a']);   Y = set([1,1,1, 2/3])
X   # random sort order
X == set(['a', 1, 1, 19])
Y
'a' in X
'a' in Y
X.intersection(Y)

В Sage также имеется свой тип данных множество, который (в некоторых случаях) осуществлен с использованием встроенного типа множество Python, но включает в себя функциональность, связанную с Sage. Создайте множество Sage с помощью Set(...). Например,

Sage

sage: X = Set([1,19,'a']);   Y = Set([1,1,1, 2/3])
sage: X   # random sort order
{'a', 1, 19}
sage: X == Set(['a', 1, 1, 19])
True
sage: Y
{1, 2/3}
sage: X.intersection(Y)
{1}
sage: print(latex(Y))
\left\{1, \frac{2}{3}\right\}
sage: Set(ZZ)
Set of elements of Integer Ring

Python

>>> from sage.all import *
>>> X = Set([Integer(1),Integer(19),'a']);   Y = Set([Integer(1),Integer(1),Integer(1), Integer(2)/Integer(3)])
>>> X   # random sort order
{'a', 1, 19}
>>> X == Set(['a', Integer(1), Integer(1), Integer(19)])
True
>>> Y
{1, 2/3}
>>> X.intersection(Y)
{1}
>>> print(latex(Y))
\left\{1, \frac{2}{3}\right\}
>>> Set(ZZ)
Set of elements of Integer Ring

Sage Live

X = Set([1,19,'a']);   Y = Set([1,1,1, 2/3])
X   # random sort order
X == Set(['a', 1, 1, 19])
Y
X.intersection(Y)
print(latex(Y))
Set(ZZ)

Итераторы¶

Итераторы - это сравнительно недавнее добавление в Python, которое является очень полезным в математических приложениях. Несколько примеров использования итераторов приведены ниже; подробнее см. [PyT]. Здесь создается итератор для квадратов неотрицательных чисел до $10000000$.

Sage

sage: v = (n^2 for n in range(10000000))
sage: next(v)
0
sage: next(v)
1
sage: next(v)
4

Python

>>> from sage.all import *
>>> v = (n**Integer(2) for n in range(Integer(10000000)))
>>> next(v)
0
>>> next(v)
1
>>> next(v)
4

Sage Live

v = (n^2 for n in range(10000000))
next(v)
next(v)
next(v)

Следующий пример - создание итераторов из простых чисел вида $4p+1$ с простым $p$ и просмотр нескольких первых значений:

Sage

sage: w = (4*p + 1 for p in Primes() if is_prime(4*p+1))
sage: w         # random output на следующей строке 0xb0853d6c может быть другим шестнадцатиричным числом
<generator object at 0xb0853d6c>
sage: next(w)
13
sage: next(w)
29
sage: next(w)
53

Python

>>> from sage.all import *
>>> w = (Integer(4)*p + Integer(1) for p in Primes() if is_prime(Integer(4)*p+Integer(1)))
>>> w         # random output на следующей строке 0xb0853d6c может быть другим шестнадцатиричным числом
<generator object at 0xb0853d6c>
>>> next(w)
13
>>> next(w)
29
>>> next(w)
53

Sage Live

w = (4*p + 1 for p in Primes() if is_prime(4*p+1))
w         # random output на следующей строке 0xb0853d6c может быть другим шестнадцатиричным числом
next(w)
next(w)
next(w)

Определенные кольца, как и конечные поля и целые числа, имеют итераторы:

Sage

sage: [x for x in GF(7)]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
sage: W = ((x,y) for x in ZZ for y in ZZ)
sage: next(W)
(0, 0)
sage: next(W)
(0, 1)
sage: next(W)
(0, -1)

Python

>>> from sage.all import *
>>> [x for x in GF(Integer(7))]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
>>> W = ((x,y) for x in ZZ for y in ZZ)
>>> next(W)
(0, 0)
>>> next(W)
(0, 1)
>>> next(W)
(0, -1)

Sage Live

[x for x in GF(7)]
W = ((x,y) for x in ZZ for y in ZZ)
next(W)
next(W)
next(W)

Программирование¶

Загрузка и прикрепление файлов Sage¶

Создание компилированного кода¶

Доступ к функциям С из внешних файлов¶

Самостоятельные скрипты Python/Sage¶

Типы данных¶

Списки, кортежи и последовательности¶

Словари¶

Множества¶

Итераторы¶

Циклы, функции, управляющие конструкции и сравнения¶

Профилирование¶