Построение графиков¶
Sage может строить двумерные и трехмерные графики.
Двумерные графики¶
В двумерном пространстве Sage может отрисовывать круги, линии и многоугольники; графики функций в декартовых координатах; также графики в полярных координатах, контурные графики и изображения векторных полей. Некоторые примеры будут показаны ниже. Для более исчерпывающей информации по построению графиков см. Решение дифференциальных уравнений и Maxima, а также документацию Sage Constructions.
Данная команда построит желтую окружность радиуса 1 с центром в начале:
sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> from sage.all import *
>>> circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),Integer(0)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))
Также можно построить круг:
sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0), fill=True)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> from sage.all import *
>>> circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),Integer(0)), fill=True)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0), fill=True)
Можно создавать окружность и задавать ее какой-либо переменной. Данный пример не будет строить окружность:
sage: c = circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))
>>> from sage.all import *
>>> c = circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),Integer(0)))
c = circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))
Чтобы построить ее, используйте c.show() или show(c):
sage: c.show()
>>> from sage.all import *
>>> c.show()
c.show()
c.save('filename.png') сохранит график в файл.
Теперь эти „окружности“ больше похожи на эллипсы, так как оси имеют разный масштаб. Это можно исправить следующим образом:
sage: c.show(aspect_ratio=1)
>>> from sage.all import *
>>> c.show(aspect_ratio=Integer(1))
c.show(aspect_ratio=1)
Команда show(c, aspect_ratio=1) выполнит то же самое. Сохранить
картинку можно с помощью c.save('filename.png', aspect_ratio=1).
Строить графики базовых функций легко:
sage: plot(cos, (-5,5))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> from sage.all import *
>>> plot(cos, (-Integer(5),Integer(5)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
plot(cos, (-5,5))
Как только имя переменной определено, можно создать параметрический график:
sage: x = var('x')
sage: parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')
>>> parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(3)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
x = var('x')
parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
Важно отметить, что оси графика будут пересекаться лишь в том случае, когда начало координат находится в поле зрения графика, и что к достаточно большим значениям можно применить научное обозначение:
sage: plot(x^2,(x,300,500))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> from sage.all import *
>>> plot(x**Integer(2),(x,Integer(300),Integer(500)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
plot(x^2,(x,300,500))
Можно объединять построения, добавляя их друг другу:
sage: x = var('x')
sage: p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.2))
sage: p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^2),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.4))
sage: p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1+p2+p3, axes=false)
>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')
>>> p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),rgbcolor=hue(RealNumber('0.2')))
>>> p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(2)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),rgbcolor=hue(RealNumber('0.4')))
>>> p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(3)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
>>> show(p1+p2+p3, axes=false)
x = var('x')
p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.2))
p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^2),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.4))
p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
show(p1+p2+p3, axes=false)
Хороший способ создания заполненных фигур — создание списка точек (L
в следующем примере), а затем использование команды polygon для
построения фигуры с границами, образованными заданными точками. К
примеру, создадим зеленый дельтоид:
sage: L = [[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)),
....: 2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2))
sage: p
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> from sage.all import *
>>> L = [[-Integer(1)+cos(pi*i/Integer(100))*(Integer(1)+cos(pi*i/Integer(100))),
... Integer(2)*sin(pi*i/Integer(100))*(Integer(1)-cos(pi*i/Integer(100)))] for i in range(Integer(200))]
>>> p = polygon(L, rgbcolor=(Integer(1)/Integer(8),Integer(3)/Integer(4),Integer(1)/Integer(2)))
>>> p
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
L = [[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)),
2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))] for i in range(200)]
p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2))
p
Напечатайте show(p, axes=false), чтобы не показывать осей на графике.
Можно добавить текст на график:
sage: L = [[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100),
....: 6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2))
sage: t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0))
sage: show(p+t)
>>> from sage.all import *
>>> L = [[Integer(6)*cos(pi*i/Integer(100))+Integer(5)*cos((Integer(6)/Integer(2))*pi*i/Integer(100)),
... Integer(6)*sin(pi*i/Integer(100))-Integer(5)*sin((Integer(6)/Integer(2))*pi*i/Integer(100))] for i in range(Integer(200))]
>>> p = polygon(L, rgbcolor=(Integer(1)/Integer(8),Integer(1)/Integer(4),Integer(1)/Integer(2)))
>>> t = text("hypotrochoid", (Integer(5),Integer(4)), rgbcolor=(Integer(1),Integer(0),Integer(0)))
>>> show(p+t)
L = [[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100),
6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)] for i in range(200)]
p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2))
t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0))
show(p+t)
Учителя математики часто рисуют следующий график на доске: не одну ветвь arcsin, а несколько, т.е. график функции \(y=\sin(x)\) для \(x\) между \(-2\pi\) и \(2\pi\), перевернутый по отношению к линии в 45 градусов. Следующая команда Sage построит вышеуказанное:
sage: v = [(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)]
sage: line(v)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> from sage.all import *
>>> v = [(sin(x),x) for x in srange(-Integer(2)*float(pi),Integer(2)*float(pi),RealNumber('0.1'))]
>>> line(v)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
v = [(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)] line(v)
Так как функция тангенса имеет больший интервал, чем синус, при использовании той же техники для перевертывания тангенса требуется изменить минимальное и максимальное значения координат для оси x:
sage: v = [(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)]
sage: show(line(v), xmin=-20, xmax=20)
>>> from sage.all import *
>>> v = [(tan(x),x) for x in srange(-Integer(2)*float(pi),Integer(2)*float(pi),RealNumber('0.01'))]
>>> show(line(v), xmin=-Integer(20), xmax=Integer(20))
v = [(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)] show(line(v), xmin=-20, xmax=20)
Sage также может строить графики в полярных координатах, контурные построения и изображения векторных полей (для специальных видов функций). Далее следует пример контурного чертежа:
sage: f = lambda x,y: cos(x*y)
sage: contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
>>> from sage.all import *
>>> f = lambda x,y: cos(x*y)
>>> contour_plot(f, (-Integer(4), Integer(4)), (-Integer(4), Integer(4)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive
f = lambda x,y: cos(x*y) contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4))
Трехмерные графики¶
Sage также может быть использован для создания трехмерных графиков. Эти графики строятся с помощью пакета [ThreeJS], который поддерживает поворот и приближение картинки с помощью мыши.
Используйте plot3d, чтобы построить график функции формы \(f(x, y) = z\):
sage: x, y = var('x,y')
sage: plot3d(x^2 + y^2, (x,-2,2), (y,-2,2))
Graphics3d Object
>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x,y')
>>> plot3d(x**Integer(2) + y**Integer(2), (x,-Integer(2),Integer(2)), (y,-Integer(2),Integer(2)))
Graphics3d Object
x, y = var('x,y')
plot3d(x^2 + y^2, (x,-2,2), (y,-2,2))
Еще можно использовать parametric_plot3d для построения графиков
параметрических поверхностей, где каждый из \(x, y, z\) определяется функцией
одной или двух переменных (параметры; обычно \(u\) и \(v\)). Предыдущий график
может быть выражен параметрически в следующем виде:
sage: u, v = var('u, v')
sage: f_x(u, v) = u
sage: f_y(u, v) = v
sage: f_z(u, v) = u^2 + v^2
sage: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -2, 2), (v, -2, 2))
Graphics3d Object
>>> from sage.all import *
>>> u, v = var('u, v')
>>> __tmp__=var("u,v"); f_x = symbolic_expression(u).function(u,v)
>>> __tmp__=var("u,v"); f_y = symbolic_expression(v).function(u,v)
>>> __tmp__=var("u,v"); f_z = symbolic_expression(u**Integer(2) + v**Integer(2)).function(u,v)
>>> parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -Integer(2), Integer(2)), (v, -Integer(2), Integer(2)))
Graphics3d Object
u, v = var('u, v')
f_x(u, v) = u
f_y(u, v) = v
f_z(u, v) = u^2 + v^2
parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -2, 2), (v, -2, 2))
Третий способ построить трехмерную поверхность в Sage - использование
implicit_plot3d, который строит контуры графиков функций, как
\(f(x, y, z) = 0\). Чтобы построить сферу, возпользуемся классической формулой:
sage: x, y, z = var('x, y, z')
sage: implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 - 4, (x,-2, 2), (y,-2, 2), (z,-2, 2))
Graphics3d Object
>>> from sage.all import *
>>> x, y, z = var('x, y, z')
>>> implicit_plot3d(x**Integer(2) + y**Integer(2) + z**Integer(2) - Integer(4), (x,-Integer(2), Integer(2)), (y,-Integer(2), Integer(2)), (z,-Integer(2), Integer(2)))
Graphics3d Object
x, y, z = var('x, y, z')
implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 - 4, (x,-2, 2), (y,-2, 2), (z,-2, 2))
Ниже показаны несколько примеров:
Скрещенный колпак (близкий родственник широко известного листа Мёбиуса):
sage: u, v = var('u,v')
sage: fx = (1+cos(v))*cos(u)
sage: fy = (1+cos(v))*sin(u)
sage: fz = -tanh((2/3)*(u-pi))*sin(v)
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
....: frame=False, color="red")
Graphics3d Object
>>> from sage.all import *
>>> u, v = var('u,v')
>>> fx = (Integer(1)+cos(v))*cos(u)
>>> fy = (Integer(1)+cos(v))*sin(u)
>>> fz = -tanh((Integer(2)/Integer(3))*(u-pi))*sin(v)
>>> parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, Integer(0), Integer(2)*pi), (v, Integer(0), Integer(2)*pi),
... frame=False, color="red")
Graphics3d Object
u, v = var('u,v')
fx = (1+cos(v))*cos(u)
fy = (1+cos(v))*sin(u)
fz = -tanh((2/3)*(u-pi))*sin(v)
parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
frame=False, color="red")
Крученый тороид:
sage: u, v = var('u,v')
sage: fx = (3+sin(v)+cos(u))*cos(2*v)
sage: fy = (3+sin(v)+cos(u))*sin(2*v)
sage: fz = sin(u)+2*cos(v)
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
....: frame=False, color="red")
Graphics3d Object
>>> from sage.all import *
>>> u, v = var('u,v')
>>> fx = (Integer(3)+sin(v)+cos(u))*cos(Integer(2)*v)
>>> fy = (Integer(3)+sin(v)+cos(u))*sin(Integer(2)*v)
>>> fz = sin(u)+Integer(2)*cos(v)
>>> parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, Integer(0), Integer(2)*pi), (v, Integer(0), Integer(2)*pi),
... frame=False, color="red")
Graphics3d Object
u, v = var('u,v')
fx = (3+sin(v)+cos(u))*cos(2*v)
fy = (3+sin(v)+cos(u))*sin(2*v)
fz = sin(u)+2*cos(v)
parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
frame=False, color="red")
Лемниската:
sage: x, y, z = var('x,y,z')
sage: f(x, y, z) = 4*x^2 * (x^2 + y^2 + z^2 + z) + y^2 * (y^2 + z^2 - 1)
sage: implicit_plot3d(f, (x, -0.5, 0.5), (y, -1, 1), (z, -1, 1))
Graphics3d Object
>>> from sage.all import *
>>> x, y, z = var('x,y,z')
>>> __tmp__=var("x,y,z"); f = symbolic_expression(Integer(4)*x**Integer(2) * (x**Integer(2) + y**Integer(2) + z**Integer(2) + z) + y**Integer(2) * (y**Integer(2) + z**Integer(2) - Integer(1))).function(x,y,z)
>>> implicit_plot3d(f, (x, -RealNumber('0.5'), RealNumber('0.5')), (y, -Integer(1), Integer(1)), (z, -Integer(1), Integer(1)))
Graphics3d Object
x, y, z = var('x,y,z')
f(x, y, z) = 4*x^2 * (x^2 + y^2 + z^2 + z) + y^2 * (y^2 + z^2 - 1)
implicit_plot3d(f, (x, -0.5, 0.5), (y, -1, 1), (z, -1, 1))