Polynome¶

In diesem Abschnitt erläutern wir, wie man in Sage Polynome erzeugt und benutzt.

Polynome in einer Unbestimmten¶

Es gibt drei Möglichkeiten Polynomringe zu erzeugen.

Sage

sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: R
Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(QQ, 't')
>>> R
Univariate Polynomial Ring in t over Rational Field

Sage Live

R = PolynomialRing(QQ, 't')
R

Dies erzeugt einen Polynomring und teilt Sage mit (den String) ‚t‘ als Unbestimmte bei Ausgaben auf dem Bildschirm zu verwenden. Jedoch definiert dies nicht das Symbol t zur Verwendung in Sage, Sie können es also nicht verwenden um ein Polynom (wie z.B. \(t^2+1\)) einzugeben, welches zu R gehört.

Eine alternative Möglichkeit ist:

Sage

sage: S = QQ['t']
sage: S == R
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> S = QQ['t']
>>> S == R
True

Sage Live

S = QQ['t']
S == R

Dies verhält sich bezüglich t gleich.

Eine dritte sehr bequeme Möglichkeit ist:

Sage

sage: R.<t> = PolynomialRing(QQ)

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(QQ, names=('t',)); (t,) = R._first_ngens(1)

Sage Live

R.<t> = PolynomialRing(QQ)

oder

Sage

sage: R.<t> = QQ['t']

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = QQ['t']; (t,) = R._first_ngens(1)

Sage Live

R.<t> = QQ['t']

oder sogar nur

Sage

sage: R.<t> = QQ[]

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = QQ['t']; (t,) = R._first_ngens(1)

Sage Live

R.<t> = QQ[]

Dies hat den zusätzlichen Nebeneffekt, dass die Variable t als Unbestimmte des Polynomrings definiert wird, Sie können daher nun wie folgt auf einfache Weise Elemente von R definieren. (Beachten Sie, dass die dritte Möglichkeit sehr ähnlich zu der Konstruktor-Notation in Magma ist und, genau wie in Magma, kann Sie dazu verwendet werden eine Vielzahl von Objekten zu definieren.)

Sage

sage: poly = (t+1) * (t+2); poly
t^2 + 3*t + 2
sage: poly in R
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> poly = (t+Integer(1)) * (t+Integer(2)); poly
t^2 + 3*t + 2
>>> poly in R
True

Sage Live

poly = (t+1) * (t+2); poly
poly in R

Unabhängig davon wie Sie den Polynomring definieren, können Sie die Unbestimmte als den \(0^{th}\) Erzeuger zurückerhalten:

Sage

sage: R = PolynomialRing(QQ, 't')
sage: t = R.0
sage: t in R
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(QQ, 't')
>>> t = R.gen(0)
>>> t in R
True

Sage Live

R = PolynomialRing(QQ, 't')
t = R.0
t in R

Beachten Sie, dass Sie bei den komplexen Zahlen eine ähnliche Konstruktion verwenden können: Sie können die komplexen Zahlen ansehen, als wären sie von dem Symbol i über den reellen Zahlen erzeugt; wir erhalten also Folgendes:

Sage

sage: CC
Complex Field with 53 bits of precision
sage: CC.0  # 0th generator of CC
1.00000000000000*I

Python

>>> from sage.all import *
>>> CC
Complex Field with 53 bits of precision
>>> CC.gen(0)  # 0th generator of CC
1.00000000000000*I

Sage Live

CC
CC.0  # 0th generator of CC

Beim Erzeugen von Polynomringen kann man sowohl den Ring, als auch den Erzeuger, oder nur den Erzeuger wie folgt erhalten:

Sage

sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: t    = QQ['t'].gen()
sage: R, t = objgen(QQ['t'])
sage: t    = gen(QQ['t'])

Python

>>> from sage.all import *
>>> R, t = QQ['t'].objgen()
>>> t    = QQ['t'].gen()
>>> R, t = objgen(QQ['t'])
>>> t    = gen(QQ['t'])

Sage Live

R, t = QQ['t'].objgen()
t    = QQ['t'].gen()
R, t = objgen(QQ['t'])
t    = gen(QQ['t'])

Schließlich treiben wir etwas Arithmetik in \(\QQ[t]\).

Sage

sage: R, t = QQ['t'].objgen()
sage: f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19
sage: f^2
4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361
sage: cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclo
t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1
sage: g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)
sage: g
7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9
       + 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5
sage: F = factor(g); F
(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)
sage: F.unit()
7
sage: list(F)
[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]

Python

>>> from sage.all import *
>>> R, t = QQ['t'].objgen()
>>> f = Integer(2)*t**Integer(7) + Integer(3)*t**Integer(2) - Integer(15)/Integer(19)
>>> f**Integer(2)
4*t^14 + 12*t^9 - 60/19*t^7 + 9*t^4 - 90/19*t^2 + 225/361
>>> cyclo = R.cyclotomic_polynomial(Integer(7)); cyclo
t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1
>>> g = Integer(7) * cyclo * t**Integer(5) * (t**Integer(5) + Integer(10)*t + Integer(2))
>>> g
7*t^16 + 7*t^15 + 7*t^14 + 7*t^13 + 77*t^12 + 91*t^11 + 91*t^10 + 84*t^9
       + 84*t^8 + 84*t^7 + 84*t^6 + 14*t^5
>>> F = factor(g); F
(7) * t^5 * (t^5 + 10*t + 2) * (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)
>>> F.unit()
7
>>> list(F)
[(t, 5), (t^5 + 10*t + 2, 1), (t^6 + t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1, 1)]

Sage Live

R, t = QQ['t'].objgen()
f = 2*t^7 + 3*t^2 - 15/19
f^2
cyclo = R.cyclotomic_polynomial(7); cyclo
g = 7 * cyclo * t^5 * (t^5 + 10*t + 2)
g
F = factor(g); F
F.unit()
list(F)

Beachten Sie, dass die Faktorisierung die Einheit korrekt in Betracht zieht und ausgibt.

Falls Sie zum Beispiel die R.cyclotomic_polynomial-Funktion in einem Forschungsprojekt viel verwenden würden, sollten Sie neben Sage zu zitieren, auch versuchen herauszufinden welche Komponente von Sage verwendet wird um das zyklotomische Polynom zu berechnen, und diese ebenso angeben. In diesen Fall sehen Sie im Quellcode der Funktion, welchen Sie mit R.cyclotomic_polynomial?? erhalten schnell die Zeile f = pari.polcyclo(n), was bedeutet, dass PARI verwendet wird um das zyklotomische Polynom zu berechnen. Zitieren Sie PARI ebenso in Ihrer Arbeit.

Wenn Sie zwei Polynome teilen, erzeugen Sie ein Element des Quotientenkörpers (den Sage automatisch erzeugt).

Sage

sage: x = QQ['x'].0
sage: f = x^3 + 1; g = x^2 - 17
sage: h = f/g;  h
(x^3 + 1)/(x^2 - 17)
sage: h.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = QQ['x'].gen(0)
>>> f = x**Integer(3) + Integer(1); g = x**Integer(2) - Integer(17)
>>> h = f/g;  h
(x^3 + 1)/(x^2 - 17)
>>> h.parent()
Fraction Field of Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field

Sage Live

x = QQ['x'].0
f = x^3 + 1; g = x^2 - 17
h = f/g;  h
h.parent()

Mit Hilfe von Laurentreihen können Sie die Reihenentwicklung im Quotientenkörper von QQ[x] berechnen:

Sage

sage: R.<x> = LaurentSeriesRing(QQ); R
Laurent Series Ring in x over Rational Field
sage: 1/(1-x) + O(x^10)
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = LaurentSeriesRing(QQ, names=('x',)); (x,) = R._first_ngens(1); R
Laurent Series Ring in x over Rational Field
>>> Integer(1)/(Integer(1)-x) + O(x**Integer(10))
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + O(x^10)

Sage Live

R.<x> = LaurentSeriesRing(QQ); R
1/(1-x) + O(x^10)

Wenn wir die Variablen unterschiedlich benennen, erhalten wir einen unterschiedlichen Polynomring.

Sage

sage: R.<x> = PolynomialRing(QQ)
sage: S.<y> = PolynomialRing(QQ)
sage: x == y
False
sage: R == S
False
sage: R(y)
x
sage: R(y^2 - 17)
x^2 - 17

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(QQ, names=('x',)); (x,) = R._first_ngens(1)
>>> S = PolynomialRing(QQ, names=('y',)); (y,) = S._first_ngens(1)
>>> x == y
False
>>> R == S
False
>>> R(y)
x
>>> R(y**Integer(2) - Integer(17))
x^2 - 17

Sage Live

R.<x> = PolynomialRing(QQ)
S.<y> = PolynomialRing(QQ)
x == y
R == S
R(y)
R(y^2 - 17)

Der Ring wird durch die Variable bestimmt. Beachten Sie, dass das Erzeugen eines weiteren Rings mit einer x genannten Variablen keinen unterschiedlichen Ring zurück gibt.

Sage

sage: R = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: T = PolynomialRing(QQ, "x")
sage: R == T
True
sage: R is T
True
sage: R.0 == T.0
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(QQ, "x")
>>> T = PolynomialRing(QQ, "x")
>>> R == T
True
>>> R is T
True
>>> R.gen(0) == T.gen(0)
True

Sage Live

R = PolynomialRing(QQ, "x")
T = PolynomialRing(QQ, "x")
R == T
R is T
R.0 == T.0

Sage unterstützt auch Ringe von Potenz- und Laurentreihen über beliebigen Ringen. Im folgenden Beispiel erzeugen wir ein Element aus \(\GF{7}[[T]]\) und teilen es um ein Element aus \(\GF{7}((T))\) zu erhalten.

Sage

sage: R.<T> = PowerSeriesRing(GF(7)); R
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
sage: f = T  + 3*T^2 + T^3 + O(T^4)
sage: f^3
T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)
sage: 1/f
T^-1 + 4 + T + O(T^2)
sage: parent(1/f)
Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = PowerSeriesRing(GF(Integer(7)), names=('T',)); (T,) = R._first_ngens(1); R
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7
>>> f = T  + Integer(3)*T**Integer(2) + T**Integer(3) + O(T**Integer(4))
>>> f**Integer(3)
T^3 + 2*T^4 + 2*T^5 + O(T^6)
>>> Integer(1)/f
T^-1 + 4 + T + O(T^2)
>>> parent(Integer(1)/f)
Laurent Series Ring in T over Finite Field of size 7

Sage Live

R.<T> = PowerSeriesRing(GF(7)); R
f = T  + 3*T^2 + T^3 + O(T^4)
f^3
1/f
parent(1/f)

Sie können einen Potenzreihenring auch mit der Kurzschreibweise, doppelter eckiger Klammern erzeugen:

Sage

sage: GF(7)[['T']]
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7

Python

>>> from sage.all import *
>>> GF(Integer(7))[['T']]
Power Series Ring in T over Finite Field of size 7

Sage Live

GF(7)[['T']]

Polynome in mehreren Unbestimmten¶

Um mit Polynomringen in mehreren Variablen zu arbeiten, deklarieren wir zunächst den Ring und die Variablen.

Sage

sage: R = PolynomialRing(GF(5),3,"z") # here, 3 = number of variables
sage: R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = PolynomialRing(GF(Integer(5)),Integer(3),"z") # here, 3 = number of variables
>>> R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

Sage Live

R = PolynomialRing(GF(5),3,"z") # here, 3 = number of variables
R

Genau wie bei dem Definieren von Polynomringen in einer Variablen, gibt es mehrere Möglichkeiten:

Sage

sage: GF(5)['z0, z1, z2']
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
sage: R.<z0,z1,z2> = GF(5)[]; R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

Python

>>> from sage.all import *
>>> GF(Integer(5))['z0, z1, z2']
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5
>>> R = GF(Integer(5))['z0, z1, z2']; (z0, z1, z2,) = R._first_ngens(3); R
Multivariate Polynomial Ring in z0, z1, z2 over Finite Field of size 5

Sage Live

GF(5)['z0, z1, z2']
R.<z0,z1,z2> = GF(5)[]; R

Falls die Variablennamen nur einen Buchstaben lang sein sollen, können Sie auch die folgende Kurzschreibweise verwenden:

Sage

sage: PolynomialRing(GF(5), 3, 'xyz')
Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5

Python

>>> from sage.all import *
>>> PolynomialRing(GF(Integer(5)), Integer(3), 'xyz')
Multivariate Polynomial Ring in x, y, z over Finite Field of size 5

Sage Live

PolynomialRing(GF(5), 3, 'xyz')

Als nächstes treiben wir wieder etwas Arithmetik.

Sage

sage: z = GF(5)['z0, z1, z2'].gens()
sage: z
(z0, z1, z2)
sage: (z[0]+z[1]+z[2])^2
z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2

Python

>>> from sage.all import *
>>> z = GF(Integer(5))['z0, z1, z2'].gens()
>>> z
(z0, z1, z2)
>>> (z[Integer(0)]+z[Integer(1)]+z[Integer(2)])**Integer(2)
z0^2 + 2*z0*z1 + z1^2 + 2*z0*z2 + 2*z1*z2 + z2^2

Sage Live

z = GF(5)['z0, z1, z2'].gens()
z
(z[0]+z[1]+z[2])^2

Sie können auch eine mathematisch etwas weiter verbreitete Schreibweise verwenden um den Polynomring zu definieren.

Sage

sage: R = GF(5)['x,y,z']
sage: x,y,z = R.gens()
sage: QQ['x']
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
sage: QQ['x,y'].gens()
(x, y)
sage: QQ['x'].objgens()
(Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))

Python

>>> from sage.all import *
>>> R = GF(Integer(5))['x,y,z']
>>> x,y,z = R.gens()
>>> QQ['x']
Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field
>>> QQ['x,y'].gens()
(x, y)
>>> QQ['x'].objgens()
(Univariate Polynomial Ring in x over Rational Field, (x,))

Sage Live

R = GF(5)['x,y,z']
x,y,z = R.gens()
QQ['x']
QQ['x,y'].gens()
QQ['x'].objgens()

Polynomringe in mehreren Variablen sind in Sage mit Hilfe von Python-Dictionaries und der „distributiven Darstellung“ eines Polynoms implementiert. Sage benutzt Singular [Si], zum Beispiel bei der Berechnung von ggTs und Gröbnerbasen von Idealen.

Sage

sage: R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 2, 'xy').objgens()
sage: f = (x^3 + 2*y^2*x)^2
sage: g = x^2*y^2
sage: f.gcd(g)
x^2

Python

>>> from sage.all import *
>>> R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), Integer(2), 'xy').objgens()
>>> f = (x**Integer(3) + Integer(2)*y**Integer(2)*x)**Integer(2)
>>> g = x**Integer(2)*y**Integer(2)
>>> f.gcd(g)
x^2

Sage Live

R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 2, 'xy').objgens()
f = (x^3 + 2*y^2*x)^2
g = x^2*y^2
f.gcd(g)

Als nächstes erstellen wir das Ideal \((f,g)\) welches von \(f\) und \(g\) erzeugt wird, indem wir einfach (f,g) mit R multiplizieren (wir könnten auch ideal([f,g]) oder ideal(f,g)) schreiben.

Sage

sage: I = (f, g)*R; I
Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial
Ring in x, y over Rational Field
sage: B = I.groebner_basis(); B
[x^6, x^2*y^2]
sage: x^2 in I
False

Python

>>> from sage.all import *
>>> I = (f, g)*R; I
Ideal (x^6 + 4*x^4*y^2 + 4*x^2*y^4, x^2*y^2) of Multivariate Polynomial
Ring in x, y over Rational Field
>>> B = I.groebner_basis(); B
[x^6, x^2*y^2]
>>> x**Integer(2) in I
False

Sage Live

I = (f, g)*R; I
B = I.groebner_basis(); B
x^2 in I

Übrigens ist die obige Gröbnerbasis keine Liste, sondern eine unveränderliche Folge. Das bedeutet das sie die Attribute „universe“ und „parent“ besitzt und nicht verändert werden kann. (Dies ist nützlich, da nach dem Ändern der Basis andere Routinen, welche die Gröbnerbasis verwenden, nicht mehr funktionieren könnten)

Sage

sage: B.universe()
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
sage: B[1] = x
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.

Python

>>> from sage.all import *
>>> B.universe()
Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field
>>> B[Integer(1)] = x
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: object is immutable; please change a copy instead.

Sage Live

B.universe()
B[1] = x

Etwas (damit meinen wir: nicht so viel wie wir gerne hätten) kommutative Algebra ist in Sage, mit Hilfe von Singular implementiert, vorhanden. Zum Beispiel können wir die Zerlegung in Primideale und die assoziierten Primideale von \(I\) berechnen.

Sage

sage: I.primary_decomposition()
[Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
 Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]
sage: I.associated_primes()
[Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
 Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]

Python

>>> from sage.all import *
>>> I.primary_decomposition()
[Ideal (x^2) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
 Ideal (y^2, x^6) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]
>>> I.associated_primes()
[Ideal (x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field,
 Ideal (y, x) of Multivariate Polynomial Ring in x, y over Rational Field]

Sage Live

I.primary_decomposition()
I.associated_primes()