Wichtige Ringe

Wenn wir Matrizen, Vektoren oder Polynome definieren ist es manchmal nützlich, und manchmal notwendig, den „Ring“ anzugeben, über dem diese definiert sind. Ein Ring ist ein mathematisches Objekt, für das es die wohldefinierten Operationen Addition und Multiplikation gibt; Falls Sie davon noch nie gehört haben, brauchen Sie wahrscheinlich nur die folgenden vier häufig verwendeten Ringe zu kennen.

  • die ganzen Zahlen \(\{..., -1, 0, 1, 2, ...\}\), welche ZZ in Sage genannt werden.

  • die rationalen Zahlen – d.h Brüche oder Quotienten von ganzen Zahlen, welche QQ in Sage genannt werden.

  • die reellen Zahlen, welche RR in Sage genannt werden.

  • die komplexen Zahlen, welche CC in Sage genannt werden.

Sie müssen diese Unterschiede kennen, da das gleiche Polynom zum Beispiel, unterschiedlich, abhängig von dem Ring über dem es definiert ist, behandelt werden kann. Zum Beispiel hat das Polynom \(x^2-2\) die beiden Nullstellen \(\pm \sqrt{2}\). Diese Nullstellen sind nicht rational, wenn Sie also mit Polynomen über rationalen Koeffizienten arbeiten, lässt sich das Polynom nicht faktorisieren. Mit reellen Koeffizienten lässt es sich faktorisieren. Deshalb müssen Sie den Ring angeben, um sicher zu gehen, dass Sie die Information erhalten, die Sie erwarten. Die folgenden beiden Befehle definieren jeweils die Mengen der Polynome mit rationalen und reellen Koeffizienten. Diese Mengen werden „ratpoly“ und „realpoly“ genannt, aber das ist hier nicht wichtig; beachten Sie jedoch, dass die Strings „.<t>“ und „.<z>“ die Variablen benennen, die in beiden Fällen benutzt werden.

sage: ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ)
sage: realpoly.<z> = PolynomialRing(RR)

>>> from sage.all import *
>>> ratpoly = PolynomialRing(QQ, names=('t',)); (t,) = ratpoly._first_ngens(1)
>>> realpoly = PolynomialRing(RR, names=('z',)); (z,) = realpoly._first_ngens(1)

ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ)
realpoly.<z> = PolynomialRing(RR)

Jetzt verdeutlichen wir die Behauptung über das Faktorisieren von \(x^2-2\):

sage: factor(t^2-2)
t^2 - 2
sage: factor(z^2-2)
(z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)

>>> from sage.all import *
>>> factor(t**Integer(2)-Integer(2))
t^2 - 2
>>> factor(z**Integer(2)-Integer(2))
(z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)

factor(t^2-2)
factor(z^2-2)

Ähnliche Kommentare treffen auf Matrizen zu: Die zeilenreduzierte Form eine Matrix kann vom Ring abhängen, über dem sie definiert ist, genauso wie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren. Um mehr über das Konstruieren von Polynomen zu erfahren, lesen Sie Polynome, und für mehr über Matrizen, lesen Sie Lineare Algebra.

Das Symbol I steht für die Quadratwurzel von \(-1\); i ist ein Synonym für I. Natürlich ist dies keine rationale Zahl:

sage: i  # Wurzel von -1
I
sage: i in QQ
False

>>> from sage.all import *
>>> i  # Wurzel von -1
I
>>> i in QQ
False

i  # Wurzel von -1
i in QQ

Beachten Sie: Der obige Code kann möglicherweise nicht wie erwartet funktionieren. Zum Beispiel wenn der Variablen i ein unterschiedlicher Wert, etwa wenn diese als Schleifenvariable verwendet wurde, zugewiesen wurde. Falls dies der Fall ist, tippen Sie

sage: reset('i')

>>> from sage.all import *
>>> reset('i')

reset('i')

um den ursprünglichen komplexen Wert der Variable i zu erhalten.

Es ist noch eine Feinheit beim Definieren von komplexen Zahlen zu beachten: Wie oben erwähnt wurde, stellt das Symbol i eine Quadratwurzel von \(-1\) dar, es ist jedoch eine formale Quadratwurzel von \(-1\), jedoch eine algebraische Zahl. Das Aufrufen von CC(i) oder CC.0 oder CC.gen(0), gibt die komplexe Quadratwurzel von \(-1\) zurück.

sage: i = CC(i)       # komplexe Gleitkommazahl
sage: i == CC.0
True
sage: a, b = 4/3, 2/3
sage: z = a + b*i
sage: z
1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
sage: z.imag()        # Imaginärteil
0.666666666666667
sage: z.real() == a   # automatische Umwandlung vor dem Vergleich
True
sage: a + b
2
sage: 2*b == a
True
sage: parent(2/3)
Rational Field
sage: parent(4/2)
Rational Field
sage: 2/3 + 0.1       # automatische Umwandlung vor der Addition
0.766666666666667
sage: 0.1 + 2/3       # Umwandlungsregeln sind symmetrisch in Sage
0.766666666666667

>>> from sage.all import *
>>> i = CC(i)       # komplexe Gleitkommazahl
>>> i == CC.gen(0)
True
>>> a, b = Integer(4)/Integer(3), Integer(2)/Integer(3)
>>> z = a + b*i
>>> z
1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
>>> z.imag()        # Imaginärteil
0.666666666666667
>>> z.real() == a   # automatische Umwandlung vor dem Vergleich
True
>>> a + b
2
>>> Integer(2)*b == a
True
>>> parent(Integer(2)/Integer(3))
Rational Field
>>> parent(Integer(4)/Integer(2))
Rational Field
>>> Integer(2)/Integer(3) + RealNumber('0.1')       # automatische Umwandlung vor der Addition
0.766666666666667
>>> RealNumber('0.1') + Integer(2)/Integer(3)       # Umwandlungsregeln sind symmetrisch in Sage
0.766666666666667

i = CC(i)       # komplexe Gleitkommazahl
i == CC.0
a, b = 4/3, 2/3
z = a + b*i
z
z.imag()        # Imaginärteil
z.real() == a   # automatische Umwandlung vor dem Vergleich
a + b
2*b == a
parent(2/3)
parent(4/2)
2/3 + 0.1       # automatische Umwandlung vor der Addition
0.1 + 2/3       # Umwandlungsregeln sind symmetrisch in Sage

Hier sind weitere Beispiele von Ringen in Sage. Wie oben angemerkt, kann auf den Ring der rationalen Zahlen mit QQ zugegriffen werden, ebenso wie mit RationalField() (ein Körper (engl. field) ist ein Ring in dem die Multiplikation kommutativ ist, und in dem jedes von Null verschiedene Element in dem Ring einen Kehrwehrt besitzt. Die rationalen Zahlen bilden also auch einen Körper, die ganzen Zahlen jedoch nicht):

sage: RationalField()
Rational Field
sage: QQ
Rational Field
sage: 1/2 in QQ
True

>>> from sage.all import *
>>> RationalField()
Rational Field
>>> QQ
Rational Field
>>> Integer(1)/Integer(2) in QQ
True

RationalField()
QQ
1/2 in QQ

Die Dezimalzahl 1.2 wird als rationale Zahl in QQ gesehen: Dezimalzahlen, die auch rational sind, können in rationale Zahlen „umgewandelt“ (engl. „coerced“) werden. Die Zahlen \(\pi\) und \(\sqrt{2}\) sind jedoch nicht rational:

sage: 1.2 in QQ
True
sage: pi in QQ
False
sage: pi in RR
True
sage: sqrt(2) in QQ
False
sage: sqrt(2) in CC
True

>>> from sage.all import *
>>> RealNumber('1.2') in QQ
True
>>> pi in QQ
False
>>> pi in RR
True
>>> sqrt(Integer(2)) in QQ
False
>>> sqrt(Integer(2)) in CC
True

1.2 in QQ
pi in QQ
pi in RR
sqrt(2) in QQ
sqrt(2) in CC

Für die Verwendung in der höheren Mathematik kennt Sage noch weitere Ringe, wie z.B. endliche Körper, \(p\)-adische Zahlen, den Ring der algebraischen Zahlen, Polynomringe und Matrizenringe. Hier sind Konstruktionen einiger von ihnen:

sage: GF(3)
Finite Field of size 3
sage: GF(27, 'a')  # Sie müssen den Names des Generators angeben \
....:              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
Finite Field in a of size 3^3
sage: Zp(5)
5-adic Ring with capped relative precision 20
sage: sqrt(3) in QQbar # algebraischer Abschluss von QQ
True

>>> from sage.all import *
>>> GF(Integer(3))
Finite Field of size 3
>>> GF(Integer(27), 'a')  # Sie müssen den Names des Generators angeben \
...              # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
Finite Field in a of size 3^3
>>> Zp(Integer(5))
5-adic Ring with capped relative precision 20
>>> sqrt(Integer(3)) in QQbar # algebraischer Abschluss von QQ
True

GF(3)
GF(27, 'a')  # Sie müssen den Names des Generators angeben \
             # wenn es sich um keinen Primkörper handelt
Zp(5)
sqrt(3) in QQbar # algebraischer Abschluss von QQ