Álgebra Elementar e Cálculo

O Sage pode realizar diversos cálculos em álgebra elementar e cálculo diferencial e integral: por exemplo, encontrar soluções de equações, diferenciar, integrar, e calcular a transformada de Laplace. Veja a documentação em Sage Constructions para mais exemplos.

Resolvendo equações

Resolvendo equações exatamente

A função solve resolve equações. Para usá-la, primeiro especifique algumas variáveis; então os argumentos de solve são uma equação (ou um sistema de equações), juntamente com as variáveis para as quais resolver:

Sage

sage: x = var('x')
sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
[x == -2, x == -1]

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')
>>> solve(x**Integer(2) + Integer(3)*x + Integer(2), x)
[x == -2, x == -1]

Sage Live

x = var('x')
solve(x^2 + 3*x + 2, x)

Você pode resolver equações para uma variável em termos das outras:

Sage

sage: x, b, c = var('x b c')
sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]

Python

>>> from sage.all import *
>>> x, b, c = var('x b c')
>>> solve([x**Integer(2) + b*x + c == Integer(0)],x)
[x == -1/2*b - 1/2*sqrt(b^2 - 4*c), x == -1/2*b + 1/2*sqrt(b^2 - 4*c)]

Sage Live

x, b, c = var('x b c')
solve([x^2 + b*x + c == 0],x)

Você pode resolver para diversas variáveis:

Sage

sage: x, y = var('x, y')
sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
[[x == 5, y == 1]]

Python

>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x, y')
>>> solve([x+y==Integer(6), x-y==Integer(4)], x, y)
[[x == 5, y == 1]]

Sage Live

x, y = var('x, y')
solve([x+y==6, x-y==4], x, y)

O seguinte exemplo, que mostra como usar o Sage para resolver um sistema de equações não-lineares, foi sugerido por Jason Grout: primeiro, resolvemos o sistemas simbolicamente:

Sage

sage: var('x y p q')
(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

Python

>>> from sage.all import *
>>> var('x y p q')
(x, y, p, q)
>>> eq1 = p+q==Integer(9)
>>> eq2 = q*y+p*x==-Integer(6)
>>> eq3 = q*y**Integer(2)+p*x**Integer(2)==Integer(24)
>>> solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == -4/3*sqrt(10) - 2/3, y == 1/6*sqrt(10) - 2/3], [p == 1, q == 8, x == 4/3*sqrt(10) - 2/3, y == -1/6*sqrt(10) - 2/3]]

Sage Live

var('x y p q')
eq1 = p+q==9
eq2 = q*y+p*x==-6
eq3 = q*y^2+p*x^2==24
solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)

Para obter soluções numéricas aproximadas, podemos usar:

Sage

sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
 [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

Python

>>> from sage.all import *
>>> solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==Integer(1)],p,q,x,y, solution_dict=True)
>>> [[s[p].n(Integer(30)), s[q].n(Integer(30)), s[x].n(Integer(30)), s[y].n(Integer(30))] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
 [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]

Sage Live

solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
[[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]

(A função n imprime uma aproximação numérica, e o argumento é o número de bits de precisão.)

Resolvendo Equações Numericamente

Frequentemente, solve não será capaz de encontrar uma solução exata para uma equação ou sistema de equações. Nesse caso, você pode usar find_root para encontrar uma solução numérica. Por exemplo, solve não encontra uma solução para a equação abaixo:

Sage

sage: theta = var('theta')
sage: solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
[sin(theta) == cos(theta)]

Python

>>> from sage.all import *
>>> theta = var('theta')
>>> solve(cos(theta)==sin(theta), theta)
[sin(theta) == cos(theta)]

Sage Live

theta = var('theta')
solve(cos(theta)==sin(theta), theta)

Por outro lado, podemos usar find_root para encontrar uma solução para a equação acima no intervalo $0<\varphi <\pi /2$:

Sage

sage: phi = var('phi')
sage: find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)
0.785398163397448...

Python

>>> from sage.all import *
>>> phi = var('phi')
>>> find_root(cos(phi)==sin(phi),Integer(0),pi/Integer(2))
0.785398163397448...

Sage Live

phi = var('phi')
find_root(cos(phi)==sin(phi),0,pi/2)

Diferenciação, Integração, etc.

O Sage é capaz de diferenciar e integrar diversas funções. Por exemplo, para diferenciar $\sin (u)$ com respeito a $u$, faça o seguinte:

Sage

sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)

Python

>>> from sage.all import *
>>> u = var('u')
>>> diff(sin(u), u)
cos(u)

Sage Live

u = var('u')
diff(sin(u), u)

Para calcular a quarta derivada de $\sin (x^2)$:

Sage

sage: diff(sin(x^2), x, 4)
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

Python

>>> from sage.all import *
>>> diff(sin(x**Integer(2)), x, Integer(4))
16*x^4*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) - 12*sin(x^2)

Sage Live

diff(sin(x^2), x, 4)

Para calcular as derivadas parciais de $x^2+17y^2$ com respeito a x e y, respectivamente:

Sage

sage: x, y = var('x,y')
sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)
2*x
sage: f.diff(y)
34*y

Python

>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x,y')
>>> f = x**Integer(2) + Integer(17)*y**Integer(2)
>>> f.diff(x)
2*x
>>> f.diff(y)
34*y

Sage Live

x, y = var('x,y')
f = x^2 + 17*y^2
f.diff(x)
f.diff(y)

Passamos agora para integrais, tanto indefinidas como definidas. Para calcular $\int x\sin (x^2)dx$ e ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx$:

Sage

sage: integral(x*sin(x^2), x)
-1/2*cos(x^2)
sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
1/2*log(2)

Python

>>> from sage.all import *
>>> integral(x*sin(x**Integer(2)), x)
-1/2*cos(x^2)
>>> integral(x/(x**Integer(2)+Integer(1)), x, Integer(0), Integer(1))
1/2*log(2)

Sage Live

integral(x*sin(x^2), x)
integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)

Para calcular a decomposição em frações parciais de $\frac{1}{x^2-1}$:

Sage

sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

Python

>>> from sage.all import *
>>> f = Integer(1)/((Integer(1)+x)*(x-Integer(1)))
>>> f.partial_fraction(x)
-1/2/(x + 1) + 1/2/(x - 1)

Sage Live

f = 1/((1+x)*(x-1))
f.partial_fraction(x)

Resolvendo Equações Diferenciais

Você pode usar o Sage para investigar equações diferenciais ordinárias. Para resolver a equação $x^{\prime }+x-1=0$:

Sage

sage: t = var('t')    # define a variable t
sage: x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
sage: DE = diff(x, t) + x - 1
sage: desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)

Python

>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')    # define a variable t
>>> x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
>>> DE = diff(x, t) + x - Integer(1)
>>> desolve(DE, [x,t])
(_C + e^t)*e^(-t)

Sage Live

t = var('t')    # define a variable t
x = function('x')(t)   # define x to be a function of that variable
DE = diff(x, t) + x - 1
desolve(DE, [x,t])

Esse método usa a interface do Sage para o Maxima [Max]. Logo, o formato dos resultados é um pouco diferente de outros cálculos realizados no Sage. Nesse caso, o resultado diz que a solução geral da equação diferencial é $x(t)=e^{-t}(e^t+c)$.

Você pode calcular a transformada de Laplace também; a transformada de Laplace de $t^2{e}^t-\sin (t)$ é calculada da seguinte forma:

Sage

sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
sage: f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3

Python

>>> from sage.all import *
>>> s = var("s")
>>> t = var("t")
>>> f = t**Integer(2)*exp(t) - sin(t)
>>> f.laplace(t,s)
-1/(s^2 + 1) + 2/(s - 1)^3

Sage Live

s = var("s")
t = var("t")
f = t^2*exp(t) - sin(t)
f.laplace(t,s)

A seguir, um exemplo mais complicado. O deslocamento, com respeito à posição de equilíbrio, de duas massas presas a uma parede através de molas, conforme a figura abaixo,

|------\/\/\/\/\---|massa1|----\/\/\/\/\/----|massa2|
         mola1                    mola2

é modelado pelo sistema de equações diferenciais de segunda ordem

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{m}_1{x}_1^{″}+(k_1+k_2)x_1-k_2{x}_2=0\\ m_2{x}_2^{″}+k_2(x_2-x_1)=0,\end{array}\end{array}$$

onde, para $i=1,2$, $m_i$ é a massa do objeto i, $x_i$ é o deslocamento com respeito à posição de equilíbrio da massa i, e $k_i$ é a constante de mola para a mola i.

Exemplo: Use o Sage para resolver o problema acima com $m_1=2$, $m_2=1$, $k_1=4$, $k_2=2$, $x_1(0)=3$, $x_1^{\prime }(0)=0$, $x_2(0)=3$, $x_2^{\prime }(0)=0$.

Solução: Primeiramente, calcule a transformada de Laplace da primeira equação (usando a notação $x=x_1$, $y=x_2$):

Sage

sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

Python

>>> from sage.all import *
>>> de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
>>> lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

Sage Live

de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1.sage()

O resultado é um pouco difícil de ler, mas diz que

$$-2x^{\prime }(0)+2s^2\ast X(s)-2sx(0)-2Y(s)+6X(s)=0$$

(onde a transformada de Laplace de uma função em letra minúscula $x(t)$ é a função em letra maiúscula $X(s)$). Agora, calcule a transformada de Laplace da segunda equação:

Sage

sage: t,s = SR.var('t,s')
sage: x = function('x')
sage: y = function('y')
sage: f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
sage: f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

Python

>>> from sage.all import *
>>> t,s = SR.var('t,s')
>>> x = function('x')
>>> y = function('y')
>>> f = Integer(2)*x(t).diff(t,Integer(2)) + Integer(6)*x(t) - Integer(2)*y(t)
>>> f.laplace(t,s)
2*s^2*laplace(x(t), t, s) - 2*s*x(0) + 6*laplace(x(t), t, s) - 2*laplace(y(t), t, s) - 2*D[0](x)(0)

Sage Live

t,s = SR.var('t,s')
x = function('x')
y = function('y')
f = 2*x(t).diff(t,2) + 6*x(t) - 2*y(t)
f.laplace(t,s)

O resultado significa que

$$-Y^{\prime }(0)+s^{2}Y(s)+2Y(s)-2X(s)-sy(0)=0.$$

Em seguida, substitua a condição inicial para $x(0)$, $x^{\prime }(0)$, $y(0)$, e $y^{\prime }(0)$, e resolva as equações resultantes:

Sage

sage: var('s X Y')
(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
  Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]

Python

>>> from sage.all import *
>>> var('s X Y')
(s, X, Y)
>>> eqns = [(Integer(2)*s**Integer(2)+Integer(6))*X-Integer(2)*Y == Integer(6)*s, -Integer(2)*X +(s**Integer(2)+Integer(2))*Y == Integer(3)*s]
>>> solve(eqns, X,Y)
[[X == 3*(s^3 + 3*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
  Y == 3*(s^3 + 5*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]

Sage Live

var('s X Y')
eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
solve(eqns, X,Y)

Agora calcule a transformada de Laplace inversa para obter a resposta:

Sage

sage: var('s t')
(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)

Python

>>> from sage.all import *
>>> var('s t')
(s, t)
>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(9)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
>>> inverse_laplace((Integer(3)*s**Integer(3) + Integer(15)*s)/(s**Integer(4) + Integer(5)*s**Integer(2) + Integer(4)),s,t)
-cos(2*t) + 4*cos(t)

Sage Live

var('s t')
inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)

Portanto, a solução é

$$x_1(t)=\cos (2t)+2\cos (t),x_2(t)=4\cos (t)-\cos (2t).$$

Ela pode ser representada em um gráfico parametricamente usando os comandos

Sage

sage: t = var('t')
sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
....: (t, 0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)

Python

>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')
>>> P = parametric_plot((cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t) ),
... (t, Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.9')))
>>> show(P)

Sage Live

t = var('t')
P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),
(t, 0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.9))
show(P)

As componentes individuais podem ser representadas em gráfico usando

Sage

sage: t = var('t')
sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)

Python

>>> from sage.all import *
>>> t = var('t')
>>> p1 = plot(cos(Integer(2)*t) + Integer(2)*cos(t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.3')))
>>> p2 = plot(Integer(4)*cos(t) - cos(Integer(2)*t), (t,Integer(0), Integer(2)*pi), rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
>>> show(p1 + p2)

Sage Live

t = var('t')
p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.3))
p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), (t,0, 2*pi), rgbcolor=hue(0.6))
show(p1 + p2)

Leia mais sobre gráficos em Gráficos. Veja a seção 5.5 de [NagleEtAl2004] (em inglês) para mais informações sobre equações diferenciais.

Método de Euler para Sistemas de Equações Diferenciais

No próximo exemplo, vamos ilustrar o método de Euler para EDOs de primeira e segunda ordem. Primeiro, relembramos a ideia básica para equações de primeira ordem. Dado um problema de valor inicial da forma

$$y^{\prime }=f(x,y),y(a)=c,$$

queremos encontrar o valor aproximado da solução em $x=b$ com $b>a$.

Da definição de derivada segue que

$$y^{\prime }(x)\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},$$

onde $h>0$ é um número pequeno. Isso, juntamente com a equação diferencial, implica que $f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}$. Agora resolvemos para $y(x+h)$:

$$y(x+h)\approx y(x)+h\ast f(x,y(x)).$$

Se chamarmos $hf(x,y(x))$ de “termo de correção”, $y(x)$ de “valor antigo de y”, e $y(x+h)$ de “novo valor de y”, então essa aproximação pode ser reescrita como

$$y_{novo}\approx y_{antigo}+h\ast f(x,y_{antigo}).$$

Se dividirmos o intervalo de a até b em n partes, de modo que $h=\frac{b-a}{n}$, então podemos construir a seguinte tabela.

$x$	$y$	$hf(x,y)$
$a$	$c$	$hf(a,c)$
$a+h$	$c+hf(a,c)$	…
$a+2h$	…
…
$b=a+nh$	???	…

O objetivo é completar os espaços em branco na tabela, em uma linha por vez, até atingirmos ???, que é a aproximação para $y(b)$ usando o método de Euler.

A ideia para sistemas de EDOs é semelhante.

Exemplo: Aproxime numericamente $z(t)$ em $t=1$ usando 4 passos do método de Euler, onde $z^{″}+t{z}^{\prime }+z=0$, $z(0)=1$, $z^{\prime }(0)=0$.

Devemos reduzir a EDO de segunda ordem a um sistema de duas EDOs de primeira ordem (usando $x=z$, $y=z^{\prime }$) e aplicar o método de Euler:

Sage

sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Python

>>> from sage.all import *
>>> t,x,y = PolynomialRing(RealField(Integer(10)),Integer(3),"txy").gens()
>>> f = y; g = -x - y * t
>>> eulers_method_2x2(f,g, Integer(0), Integer(1), Integer(0), Integer(1)/Integer(4), Integer(1))
      t                x            h*f(t,x,y)                y       h*g(t,x,y)
      0                1                  0.00                0           -0.25
    1/4              1.0                -0.062            -0.25           -0.23
    1/2             0.94                 -0.12            -0.48           -0.17
    3/4             0.82                 -0.16            -0.66          -0.081
      1             0.65                 -0.18            -0.74           0.022

Sage Live

t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
f = y; g = -x - y * t
eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)

Portanto, $z(1)\approx 0.65$.

Podemos também representar em um gráfico os pontos $(x,y)$ para obter uma figura da solução aproximada. A função eulers_method_2x2_plot fará isso; para usá-la, precisamos definir funções f e g que recebam um argumento com três coordenadas (t, x, y).

Sage

sage: f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

Python

>>> from sage.all import *
>>> f = lambda z: z[Integer(2)]        # f(t,x,y) = y
>>> g = lambda z: -sin(z[Integer(1)])  # g(t,x,y) = -sin(x)
>>> P = eulers_method_2x2_plot(f,g, RealNumber('0.0'), RealNumber('0.75'), RealNumber('0.0'), RealNumber('0.1'), RealNumber('1.0'))

Sage Live

f = lambda z: z[2]        # f(t,x,y) = y
g = lambda z: -sin(z[1])  # g(t,x,y) = -sin(x)
P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)

A esta altura, P armazena dois gráficos: P[0], o gráfico de x versus t, e P[1], o gráfico de y versus t. Podemos visualizar os dois gráficos da seguinte forma:

Sage

sage: show(P[0] + P[1])

Python

>>> from sage.all import *
>>> show(P[Integer(0)] + P[Integer(1)])

Sage Live

show(P[0] + P[1])

(Para mais sobre gráficos, veja Gráficos.)

Funções Especiais

Diversos polinômios ortogonais e funções especiais estão implementadas, usando tanto o PARI [GP] como o Maxima [Max]. Isso está documentado nas seções apropriadas (“Orthogonal polynomials” and “Special functions”, respectivamente) do manual de referência do Sage (em inglês).

Sage

sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1).n(250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1).n()
0.56515910399248...
sage: bessel_I(2,1.1).n()  # last few digits are random
0.16708949925104...

Python

>>> from sage.all import *
>>> x = polygen(QQ, 'x')
>>> chebyshev_U(Integer(2),x)
4*x^2 - 1
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n(Integer(250))
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
>>> bessel_I(Integer(1),Integer(1)).n()
0.56515910399248...
>>> bessel_I(Integer(2),RealNumber('1.1')).n()  # last few digits are random
0.16708949925104...

Sage Live

x = polygen(QQ, 'x')
chebyshev_U(2,x)
bessel_I(1,1).n(250)
bessel_I(1,1).n()
bessel_I(2,1.1).n()  # last few digits are random

No momento, essas funções estão disponíveis na interface do Sage apenas para uso numérico. Para uso simbólico, use a interface do Maxima diretamente, como no seguinte exemplo:

Sage

sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Python

>>> from sage.all import *
>>> maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'bessel_y(v,w)'
>>> maxima.eval("diff(f,w)")
'(bessel_y(v-1,w)-bessel_y(v+1,w))/2'

Sage Live

maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
maxima.eval("diff(f,w)")

Make live