Anéis Básicos¶

Quando se define matrizes, vetores, ou polinômios, é as vezes útil, e as vezes necessário, especificar o “anel” sobre o qual o objeto será definido. Um anel é uma estrutura matemática na qual se tem noções de adição e multiplicação bem definidas; se você nunca ouviu falar sobre anéis, você provavelmente só precisa saber a respeito dos seguintes exemplos:

os inteiros \(\{..., -1, 0, 1, 2,... \}\), que são chamados ZZ no Sage.
os números racionais – i. e., frações, ou razões, de inteiros – que são chamados QQ no Sage.
os números reais, chamados de RR no Sage.
os números complexos, chamados de CC no Sage.

Você pode precisar saber sobre essas distinções porque o mesmo polinômio, por exemplo, pode ser tratado diferentemente dependendo do anel sobre o qual está definido. A propósito, o polinômio \(x^2-2\) possui duas raízes, \(\pm \sqrt{2}\). Essas raízes não são racionais, logo, se você esta lidando com polinômios com coeficientes racionais, os polinômios não serão fatorados. Com coeficientes reais, eles serão. Portanto você pode querer especificar o anel para garantir que você vai obter a informação que deseja. Os dois comandos a seguir definem os conjuntos de polinômios com coeficientes racionais e coeficientes reais, respectivamente. Os conjuntos são chamados “ratpoly” e “realpoly”, mas esses nomes não são importantes aqui; todavia, note que as strings “.<t>” e “.<z>” especificam o nome das variáveis usadas em cada caso.

Sage

sage: ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ)
sage: realpoly.<z> = PolynomialRing(RR)

Python

>>> from sage.all import *
>>> ratpoly = PolynomialRing(QQ, names=('t',)); (t,) = ratpoly._first_ngens(1)
>>> realpoly = PolynomialRing(RR, names=('z',)); (z,) = realpoly._first_ngens(1)

Sage Live

ratpoly.<t> = PolynomialRing(QQ)
realpoly.<z> = PolynomialRing(RR)

Agora ilustramos a nossa discussão sobre fatorar \(x^2-2\):

Sage

sage: factor(t^2-2)
t^2 - 2
sage: factor(z^2-2)
(z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)

Python

>>> from sage.all import *
>>> factor(t**Integer(2)-Integer(2))
t^2 - 2
>>> factor(z**Integer(2)-Integer(2))
(z - 1.41421356237310) * (z + 1.41421356237310)

Sage Live

factor(t^2-2)
factor(z^2-2)

Comentários similares também se aplicam a matrizes: a forma reduzida de uma matriz pode depender do anel sobre o qual ela esta definida, como também pode os seus autovalores e autovetores. Para mais sobre polinômios, veja Polinômios, para mais sobre matrizes, veja Álgebra Linear.

O símbolo I representa a raiz quadrada de \(-1\); i é um sinônimo de I. Obviamente, isso não é um número racional:

Sage

sage: i  # square root of -1
I
sage: i in QQ
False

Python

>>> from sage.all import *
>>> i  # square root of -1
I
>>> i in QQ
False

Sage Live

i  # square root of -1
i in QQ

Nota: O código acima pode não funcionar como esperado se a variável i estiver atribuída a um outro valor, por exemplo, se ela for usada como a variável de um laço (loop). Nesse caso, digite:

Sage

sage: reset('i')

Python

>>> from sage.all import *
>>> reset('i')

Sage Live

reset('i')

para restabelecer o valor original de i.

Há uma sutileza ao definir números complexos: como mencionado acima, o símbolo i representa a raiz quadrada de \(-1\), mas é uma raiz quadrada de \(-1\) como número algébrico. Evocando CC(i) ou CC.0 ou CC.gen(0) obtém-se a raiz de \(-1\) complexa. Aritmética envolvendo tipos diferentes de números é possível graças ao que se chama de coação, veja Famílias, Conversão e Coação.

Sage

sage: i = CC(i)       # floating point complex number
sage: i == CC.0
True
sage: a, b = 4/3, 2/3
sage: z = a + b*i
sage: z
1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
sage: z.imag()        # imaginary part
0.666666666666667
sage: z.real() == a   # automatic coercion before comparison
True
sage: a + b
2
sage: 2*b == a
True
sage: parent(2/3)
Rational Field
sage: parent(4/2)
Rational Field
sage: 2/3 + 0.1       # automatic coercion before addition
0.766666666666667
sage: 0.1 + 2/3       # coercion rules are symmetric in Sage
0.766666666666667

Python

>>> from sage.all import *
>>> i = CC(i)       # floating point complex number
>>> i == CC.gen(0)
True
>>> a, b = Integer(4)/Integer(3), Integer(2)/Integer(3)
>>> z = a + b*i
>>> z
1.33333333333333 + 0.666666666666667*I
>>> z.imag()        # imaginary part
0.666666666666667
>>> z.real() == a   # automatic coercion before comparison
True
>>> a + b
2
>>> Integer(2)*b == a
True
>>> parent(Integer(2)/Integer(3))
Rational Field
>>> parent(Integer(4)/Integer(2))
Rational Field
>>> Integer(2)/Integer(3) + RealNumber('0.1')       # automatic coercion before addition
0.766666666666667
>>> RealNumber('0.1') + Integer(2)/Integer(3)       # coercion rules are symmetric in Sage
0.766666666666667

Sage Live

i = CC(i)       # floating point complex number
i == CC.0
a, b = 4/3, 2/3
z = a + b*i
z
z.imag()        # imaginary part
z.real() == a   # automatic coercion before comparison
a + b
2*b == a
parent(2/3)
parent(4/2)
2/3 + 0.1       # automatic coercion before addition
0.1 + 2/3       # coercion rules are symmetric in Sage

Aqui estão mais exemplos de anéis básicos em Sage. Como observado acima, o anel dos números racionais pode ser referido usando QQ, ou também RationalField() (um corpo, ou field em inglês, é um anel no qual a operação de multiplicação é comutativa, e todo elemento não-nulo possui um elemento inverso com respeito à operação de multiplicação. Logo, os racionais formam um corpo, mas os inteiros não):

Sage

sage: RationalField()
Rational Field
sage: QQ
Rational Field
sage: 1/2 in QQ
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> RationalField()
Rational Field
>>> QQ
Rational Field
>>> Integer(1)/Integer(2) in QQ
True

Sage Live

RationalField()
QQ
1/2 in QQ

O número decimal 1.2 é considerado como um elemento de QQ: número decimais que são também racionais podem ser coagidos ao conjunto de números racionais (veja Famílias, Conversão e Coação). Os números \(\pi\) e \(\sqrt{2}\) não são racionais, todavia:

Sage

sage: 1.2 in QQ
True
sage: pi in QQ
False
sage: pi in RR
True
sage: sqrt(2) in QQ
False
sage: sqrt(2) in CC
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> RealNumber('1.2') in QQ
True
>>> pi in QQ
False
>>> pi in RR
True
>>> sqrt(Integer(2)) in QQ
False
>>> sqrt(Integer(2)) in CC
True

Sage Live

1.2 in QQ
pi in QQ
pi in RR
sqrt(2) in QQ
sqrt(2) in CC

Para uso em matemática mais avançada, o Sage também pode especificar outros anéis, como corpos finitos, inteiros \(p\)-ádicos, o anel dos números algébricos, anéis de polinômios, e anéis de matrizes. Aqui está a construção de alguns deles:

Sage

sage: GF(3)
Finite Field of size 3
sage: GF(27, 'a')  # need to name the generator if not a prime field
Finite Field in a of size 3^3
sage: Zp(5)
5-adic Ring with capped relative precision 20
sage: sqrt(3) in QQbar # algebraic closure of QQ
True

Python

>>> from sage.all import *
>>> GF(Integer(3))
Finite Field of size 3
>>> GF(Integer(27), 'a')  # need to name the generator if not a prime field
Finite Field in a of size 3^3
>>> Zp(Integer(5))
5-adic Ring with capped relative precision 20
>>> sqrt(Integer(3)) in QQbar # algebraic closure of QQ
True

Sage Live

GF(3)
GF(27, 'a')  # need to name the generator if not a prime field
Zp(5)
sqrt(3) in QQbar # algebraic closure of QQ