Gráficos

O Sage pode produzir gráficos bidimensionais e tridimensionais.

Gráficos Bidimensionais

Em duas dimensões, o Sage pode desenhar círculos, linhas, e polígonos; gráficos de funções em coordenadas retangulares, e também coordenadas polares; gráficos de contorno e gráficos de campos vetoriais. Apresentamos alguns exemplos desses gráficos aqui. Para mais exemplos de gráficos com o Sage, veja Resolvendo Equações Diferenciais e Maxima, e também a documentação Sage Constructions.

Este comando produz um círculo amarelo de raio 1, centrado na origem.

sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),Integer(0)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))

Você pode também produzir um círculo preenchido:

sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0), fill=True)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),Integer(0)), fill=True)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0), fill=True)

Outra possibilidade é criar um círculo atribuindo-o a uma variável; isso não cria um gráfico:

sage: c = circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))

>>> from sage.all import *
>>> c = circle((Integer(0),Integer(0)), Integer(1), rgbcolor=(Integer(1),Integer(1),Integer(0)))

c = circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0))

Para criar o gráfico, use c.show() ou show(c), da seguinte forma:

sage: c.show()

>>> from sage.all import *
>>> c.show()

c.show()

Alternativamente, o comando c.save('filename.png') salva o gráfico no arquivo citado.

Agora, esses ‘círculos’ parecem mais elipses porque os eixos estão em escalas diferentes. Você pode alterar isso:

sage: c.show(aspect_ratio=1)

>>> from sage.all import *
>>> c.show(aspect_ratio=Integer(1))

c.show(aspect_ratio=1)

O comando show(c, aspect_ratio=1) produz o mesmo resultado, ou você pode salvar a figura usando c.save('filename.png', aspect_ratio=1).

É fácil criar o gráfico de funções simples:

sage: plot(cos, (-5,5))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> plot(cos, (-Integer(5),Integer(5)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

plot(cos, (-5,5))

Após especificar uma variável, você também pode criar gráficos paramétricos:

sage: x = var('x')
sage: parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')
>>> parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(3)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

x = var('x')
parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))

É importante notar que os eixos dos gráficos vão se intersectar apenas se a origem estiver no escopo do gráfico, e que valores grandes podem ser representados usando notação científica.

sage: plot(x^2,(x,300,500))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> plot(x**Integer(2),(x,Integer(300),Integer(500)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

plot(x^2,(x,300,500))

Você pode combinar vários gráficos somando-os:

sage: x = var('x')
sage: p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.2))
sage: p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^2),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.4))
sage: p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1+p2+p3, axes=false)

>>> from sage.all import *
>>> x = var('x')
>>> p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),rgbcolor=hue(RealNumber('0.2')))
>>> p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(2)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),rgbcolor=hue(RealNumber('0.4')))
>>> p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)**Integer(3)),(x,Integer(0),Integer(2)*pi),rgbcolor=hue(RealNumber('0.6')))
>>> show(p1+p2+p3, axes=false)

x = var('x')
p1 = parametric_plot((cos(x),sin(x)),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.2))
p2 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^2),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.4))
p3 = parametric_plot((cos(x),sin(x)^3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6))
show(p1+p2+p3, axes=false)

Uma boa forma de produzir figuras preenchidas é criar uma lista de pontos (L no exemplo abaixo) e então usar o comando polygon para fazer o gráfico do polígono formado por esses pontos. Por exemplo, aqui está um “deltoid” verde:

sage: L = [[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)),
....: 2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2))
sage: p
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> L = [[-Integer(1)+cos(pi*i/Integer(100))*(Integer(1)+cos(pi*i/Integer(100))),
... Integer(2)*sin(pi*i/Integer(100))*(Integer(1)-cos(pi*i/Integer(100)))] for i in range(Integer(200))]
>>> p = polygon(L, rgbcolor=(Integer(1)/Integer(8),Integer(3)/Integer(4),Integer(1)/Integer(2)))
>>> p
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

L = [[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)),
2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))] for i in range(200)]
p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2))
p

Digite show(p, axes=false) para visualizar isso sem os eixos.

Você pode adicionar texto ao gráfico:

sage: L = [[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100),
....: 6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)] for i in range(200)]
sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2))
sage: t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0))
sage: show(p+t)

>>> from sage.all import *
>>> L = [[Integer(6)*cos(pi*i/Integer(100))+Integer(5)*cos((Integer(6)/Integer(2))*pi*i/Integer(100)),
... Integer(6)*sin(pi*i/Integer(100))-Integer(5)*sin((Integer(6)/Integer(2))*pi*i/Integer(100))] for i in range(Integer(200))]
>>> p = polygon(L, rgbcolor=(Integer(1)/Integer(8),Integer(1)/Integer(4),Integer(1)/Integer(2)))
>>> t = text("hypotrochoid", (Integer(5),Integer(4)), rgbcolor=(Integer(1),Integer(0),Integer(0)))
>>> show(p+t)

L = [[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100),
6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)] for i in range(200)]
p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2))
t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0))
show(p+t)

Professores de cálculo frequentemente desenham o seguinte gráfico na lousa: não apenas um ramo do arco-seno, mas vários deles: isto é, o gráfico de \(y=\sin(x)\) para \(x\) entre \(-2\pi\) e \(2\pi\), refletido com respeito a reta \(x=y\). Os seguintes comandos fazem isso:

sage: v = [(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)]
sage: line(v)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> v = [(sin(x),x) for x in srange(-Integer(2)*float(pi),Integer(2)*float(pi),RealNumber('0.1'))]
>>> line(v)
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

v = [(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)]
line(v)

Como a função tangente possui imagem maior do que o seno, se você usar o mesmo método para fazer o gráfico da função inversa da função tangente, você deve alterar as coordenadas mínima e máxima para o eixo x:

sage: v = [(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)]
sage: show(line(v), xmin=-20, xmax=20)

>>> from sage.all import *
>>> v = [(tan(x),x) for x in srange(-Integer(2)*float(pi),Integer(2)*float(pi),RealNumber('0.01'))]
>>> show(line(v), xmin=-Integer(20), xmax=Integer(20))

v = [(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)]
show(line(v), xmin=-20, xmax=20)

O Sage também cria gráficos usando coordenadas polares, gráficos de contorno e gráficos de campos vetoriais (para tipos especiais de funções). Aqui está um exemplo de gráfico de contorno:

sage: f = lambda x,y: cos(x*y)
sage: contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

>>> from sage.all import *
>>> f = lambda x,y: cos(x*y)
>>> contour_plot(f, (-Integer(4), Integer(4)), (-Integer(4), Integer(4)))
Graphics object consisting of 1 graphics primitive

f = lambda x,y: cos(x*y)
contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4))

Gráficos Tridimensionais

O Sage pode ser usado para criar gráficos tridimensionais. Tanto no Sage Notebook, como no console (linha de comando), esses gráficos serão exibidos usando o software de código aberto [ThreeJS], que permite girar e ampliar a figura usando o mouse.

Use plot3d para criar o gráfico de uma função da forma \(f(x, y) = z\):

sage: x, y = var('x,y')
sage: plot3d(x^2 + y^2, (x,-2,2), (y,-2,2))
Graphics3d Object

>>> from sage.all import *
>>> x, y = var('x,y')
>>> plot3d(x**Integer(2) + y**Integer(2), (x,-Integer(2),Integer(2)), (y,-Integer(2),Integer(2)))
Graphics3d Object

x, y = var('x,y')
plot3d(x^2 + y^2, (x,-2,2), (y,-2,2))

Alternativamente, você pode usar parametric_plot3d para criar o gráfico de uma superfície onde cada coordenada \(x, y, z\) é determinada por uma função de uma ou duas variáveis (os parâmetros, tipicamente \(u\) e \(v\)). O gráfico anterior pode ser representado parametricamente na forma:

sage: u, v = var('u, v')
sage: f_x(u, v) = u
sage: f_y(u, v) = v
sage: f_z(u, v) = u^2 + v^2
sage: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -2, 2), (v, -2, 2))
Graphics3d Object

>>> from sage.all import *
>>> u, v = var('u, v')
>>> __tmp__=var("u,v"); f_x = symbolic_expression(u).function(u,v)
>>> __tmp__=var("u,v"); f_y = symbolic_expression(v).function(u,v)
>>> __tmp__=var("u,v"); f_z = symbolic_expression(u**Integer(2) + v**Integer(2)).function(u,v)
>>> parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -Integer(2), Integer(2)), (v, -Integer(2), Integer(2)))
Graphics3d Object

u, v = var('u, v')
f_x(u, v) = u
f_y(u, v) = v
f_z(u, v) = u^2 + v^2
parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, -2, 2), (v, -2, 2))

A terceira forma de fazer um gráfico de uma superfície no Sage é usando o comando implicit_plot3d, que cria um gráfico de uma superfície definida por uma equação \(f(x, y, z) = 0\) (isso define um conjunto de pontos). Vamos fazer o gráfico de uma esfera usando a expressão usual:

sage: x, y, z = var('x, y, z')
sage: implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 - 4, (x,-2, 2), (y,-2, 2), (z,-2, 2))
Graphics3d Object

>>> from sage.all import *
>>> x, y, z = var('x, y, z')
>>> implicit_plot3d(x**Integer(2) + y**Integer(2) + z**Integer(2) - Integer(4), (x,-Integer(2), Integer(2)), (y,-Integer(2), Integer(2)), (z,-Integer(2), Integer(2)))
Graphics3d Object

x, y, z = var('x, y, z')
implicit_plot3d(x^2 + y^2 + z^2 - 4, (x,-2, 2), (y,-2, 2), (z,-2, 2))

Aqui estão mais alguns exemplos:

Yellow Whitney’s umbrella:

sage: u, v = var('u,v')
sage: fx = u*v
sage: fy = u
sage: fz = v^2
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, -1, 1), (v, -1, 1),
....: frame=False, color="yellow")
Graphics3d Object

>>> from sage.all import *
>>> u, v = var('u,v')
>>> fx = u*v
>>> fy = u
>>> fz = v**Integer(2)
>>> parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, -Integer(1), Integer(1)), (v, -Integer(1), Integer(1)),
... frame=False, color="yellow")
Graphics3d Object

u, v = var('u,v')
fx = u*v
fy = u
fz = v^2
parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, -1, 1), (v, -1, 1),
frame=False, color="yellow")

Cross cap:

sage: u, v = var('u,v')
sage: fx = (1+cos(v))*cos(u)
sage: fy = (1+cos(v))*sin(u)
sage: fz = -tanh((2/3)*(u-pi))*sin(v)
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
....: frame=False, color="red")
Graphics3d Object

>>> from sage.all import *
>>> u, v = var('u,v')
>>> fx = (Integer(1)+cos(v))*cos(u)
>>> fy = (Integer(1)+cos(v))*sin(u)
>>> fz = -tanh((Integer(2)/Integer(3))*(u-pi))*sin(v)
>>> parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, Integer(0), Integer(2)*pi), (v, Integer(0), Integer(2)*pi),
... frame=False, color="red")
Graphics3d Object

u, v = var('u,v')
fx = (1+cos(v))*cos(u)
fy = (1+cos(v))*sin(u)
fz = -tanh((2/3)*(u-pi))*sin(v)
parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
frame=False, color="red")

Toro retorcido:

sage: u, v = var('u,v')
sage: fx = (3+sin(v)+cos(u))*cos(2*v)
sage: fy = (3+sin(v)+cos(u))*sin(2*v)
sage: fz = sin(u)+2*cos(v)
sage: parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
....: frame=False, color="red")
Graphics3d Object

>>> from sage.all import *
>>> u, v = var('u,v')
>>> fx = (Integer(3)+sin(v)+cos(u))*cos(Integer(2)*v)
>>> fy = (Integer(3)+sin(v)+cos(u))*sin(Integer(2)*v)
>>> fz = sin(u)+Integer(2)*cos(v)
>>> parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, Integer(0), Integer(2)*pi), (v, Integer(0), Integer(2)*pi),
... frame=False, color="red")
Graphics3d Object

u, v = var('u,v')
fx = (3+sin(v)+cos(u))*cos(2*v)
fy = (3+sin(v)+cos(u))*sin(2*v)
fz = sin(u)+2*cos(v)
parametric_plot3d([fx, fy, fz], (u, 0, 2*pi), (v, 0, 2*pi),
frame=False, color="red")

Lemniscata:

sage: x, y, z = var('x,y,z')
sage: f(x, y, z) = 4*x^2 * (x^2 + y^2 + z^2 + z) + y^2 * (y^2 + z^2 - 1)
sage: implicit_plot3d(f, (x, -0.5, 0.5), (y, -1, 1), (z, -1, 1))
Graphics3d Object

>>> from sage.all import *
>>> x, y, z = var('x,y,z')
>>> __tmp__=var("x,y,z"); f = symbolic_expression(Integer(4)*x**Integer(2) * (x**Integer(2) + y**Integer(2) + z**Integer(2) + z) + y**Integer(2) * (y**Integer(2) + z**Integer(2) - Integer(1))).function(x,y,z)
>>> implicit_plot3d(f, (x, -RealNumber('0.5'), RealNumber('0.5')), (y, -Integer(1), Integer(1)), (z, -Integer(1), Integer(1)))
Graphics3d Object

x, y, z = var('x,y,z')
f(x, y, z) = 4*x^2 * (x^2 + y^2 + z^2 + z) + y^2 * (y^2 + z^2 - 1)
implicit_plot3d(f, (x, -0.5, 0.5), (y, -1, 1), (z, -1, 1))